Моделирование и оптимизация процессов в деревообрабатывающей промышленности
Министерство общего и профессионального
образования Российской Федерации
Сибирский государственный
технологический университет
Факультет механической технологии древесины
Кафедра технологии деревообработки
отчет
по лабораторным работам
(ТД. 000000. 095. ПЗ)
Руководитель:
______________ Сычов А. Н.
(подпись)
___________________________
(оценка, дата)
Разработал:
студент группы 44-1
______________ (с) Иванов И. А.
(подпись)
Содержание
1. Лабораторная
работа № 1……………………………………………………… 3
2. Лабораторная работа №
2……………………………………………………… 6
3.
Лабораторная работа № 3……………………………………………………… 8
4. Лабораторная работа № 4……………………………………………………… 10
5. Лабораторная работа № 5……………………………………………………… 13
Лабораторная работа № 1
Определение оптимального плана производства
Условие
задачи
На деревообрабатывающем предприятии установлено
три типа оборудования. Известен общий фонд рабочего времени каждой группы
оборудования, который зависит от количества станков, количества и
продолжительности смен, а также от потерь рабочего времени на техническое
обслуживание оборудования.
Известно, что на данном оборудовании можно
выпускать четыре вида изделий. Трудоемкость каждого изделия также известна.
Требуется:
Часть 1. Определить
оптимальный план производства, обеспечивающий максимальную прибыль в условиях
полной экономической самостоятельности.
Часть 2. Определить
оптимальный план производства, обеспечивающий максимальную прибыль в условиях
обязательного выпуска некоторых изделий в заданном количестве.
Часть 3. Определить
дополнительный оптимальный план производства для получения заданного прироста
прибыли при минимальной перегрузке оборудования.
Если перегрузка превышает 20 % (для деревообработки), то
необходимо наметить мероприятия для её снижения.
Таблица 1.1- Исходные данные
|
Группа оборудования
|
Фонд рабочего времени, станко-час
|
Трудоемкость, станко-час, для
производства i-го изделия
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
Круглопильные станки
Фрезерные станки
Оборудование для
чистовой обработки
|
500
600
820
|
0,3
0,2
0,5
|
0,1
0,2
0,6
|
0
0,1
0,2
|
0,2
0,3
0,2
|
|
Прибыль, тыс. руб.
|
5
|
4
|
7
|
6
|
Условия
обязательного производства изделий первого и второго видов:
(1.1)
где - количество изделий
первого и второго видов, шт.
Часть 1
Пусть
- оптимизируемое количество
изделий соответственно первого, второго, третьего и четвертого типов.
(1.2)
В результате расчета симплекс-методом на ЭВМ полученной математической
модели находим оптимальный план производства:
Х1=0 шт., Х2=0 шт., Х3=4100
шт., Х4=0 шт., который обеспечивает получение максимальной
прибыли Р=28700 тыс. руб.
Часть 2
Для данных условий математическая модель, состоящая из целевой
функции и ограничений, будет иметь вид:
(1.3)
В результате расчета полученной модели на ЭВМ симплекс-методом
находим оптимальный план производства:
х1=5 шт.; х2=10 шт.; х3=4058
шт.; х4=0 шт., который обеспечивает получение максимальной
прибыли Р=28467 тыс.руб.
Анализируя полученные результаты для условий полной экономической
самостоятельности (часть 1) и для условий обязательного выпуска изделий
первого и второго видов (часть 2), видим, что прибыль предприятия
снизилась на ∆Р = 232,5 тыс. руб.
Часть 3
Для данных условий математическая модель будет иметь вид:
(1.4)
В результате расчета полученной модели на ЭВМ симплекс-методом
находим дополнительный оптимальный план производства:
∆х1=0
шт., ∆х2=0 шт., ∆х3=34 шт., ∆х4=0
шт., который обеспечивает минимальную перегрузку оборудования – 9,96
станко-часов.
Перегрузка оборудования составляет:
(1.5)
Такая перегрузка для деревообрабатывающих производств, как
правило, не требует ни дополнительного оборудования, ни введения дополнительных
смен его работы и может быть скомпенсирована за счет организационно-технических
мероприятий.
Таким образом, оптимальным планом производства, обеспечивающим
максимальную прибыль Р=28700 тыс. руб. (часть 1) при
обязательном производстве изделий первого и второго видов (х1 ≥
5, х2 ≥ 10) (часть 2), является:
количество изделий первого вида — 5 шт.;
количество изделий второго вида — 10 шт.;
количество изделий третьего вида — 4092 шт.;
количество изделий четвертого вида — 0 шт.
Лабораторная работа № 2
Геометрическое решение ЗЛП симплекс методом
Условие
задачи
(2.1)
Требуется:
Определить
оптимальные решения целевой функции графически.
|
|
|
Рисунок 2.1 – График ограничений и целевой
функции
|
|
В
результате вычислений был построен график ограничений и целевой функции. Из
графика видно, что оптимальные решения находятся в точке E (5,2) и C (8,0). В точке С
целевая функция имеет отрицательное значение f = – 14, что не
допустимо. Следовательно, оптимальное решение целевой функции одно, и оно
находится в точке Е.
Тогда:
Лабораторная
работа № 3
Определение и
анализ оптимальной программы производства
Условие задачи
В цехе установлено два типа оборудования и имеются запасы
сырья двух видов. На данном оборудовании из этого сырья можно выпускать изделия
трех видов.
Требуется:
Часть 1. Определить оптимальный
план производства - максимизировать общее время работы оборудования при
плановых заданиях и запасах сырья.
Часть 2. Оценить дефицитность
используемых ресурсов.
Часть 3. Оценить целесообразность проведения
мероприятий, связанных с увеличением плана производства продукции 1-ого вида
на 10 единиц и уменьшением плана продукции 2-ого вида на 5 единиц.
Таблица 3.1 –
Исходные данные
|
Параметры
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения
|
1
|
0,8
|
0,5
|
2
|
2
|
1,25
|
0,3
|
0,4
|
0,45
|
0,8
|
1,2
|
1,5
|
|
Параметры
|
|
|
|
|
|
|
Значения
|
750
|
1525
|
20
|
25
|
30
|
|
Условные
обозначения:
- Плановые задания на выпуск
изделий первого, второго и третьего видов.
- Нормы расхода сырья на единицу
продукции каждого вида.
- Время обработки продукции j – ого вида на оборудовании i – ого типа
Часть
1. Определение оптимального плана производства.
Математическая
модель задачи:
Введем обозначения:
- оптимизируемое количество
изделий.
Общий вид модели, состоящей
из целевой функции и ограничений, будет следующим:
(3.1)
С учетом конкретных данных математическая модель принимает
следующий вид:
(3.2)
В результате
расчета полученной модели на ЭВМ симплекс-методом находим оптимальный план
производства:
x1=20 шт.; x2=340 шт.; x3=916 шт., который
обеспечивает максимальную загрузку оборудования, равную f = 2352,2 станко-часов.
Часть 2. Оценка
дефицитности использования ресурсов.
Дефицитность
ресурсов оценивается с помощью двойственных оценок. Для их получения
необходимо перейти от прямой задачи линейного программирования к
двойственной задаче следующего вида:
(3.3)
В результате
расчета полученной двойственной модели находим симплекс-методом двойственные
оценки:
y1=0,1; y2=1,52; y3=2,040; f = 2352,2 станко-часов.
Вывод. Численные
значения полученных двойственных оценок показывают, что первый и второй виды
ресурсов являются дефицитными. Изменение планового задания на изделия второго и
третьего видов не приводит к изменению критерия оптимальности, а изменение
планового задания на изделие первого вида приводит к изменению критерия
оптимальности.
Часть
3. Оценить целесообразность увеличения плана производства продукции
1-го вида на 10 единиц и уменьшения плана продукции 2-го вида на 5 единиц.
Для оценки
целесообразности данного мероприятия воспользуемся двойственными оценками, имея
в виду, что они являются коэффициентами пропорциональности между правыми
частями ограничений и критерием оптимальности.
(3.4)
Вывод. Так как при , то следует считать данное мероприятие целесообразным.
Лабораторная работа № 4
Определение
оптимальной схемы транспортировки пиловочника
Условие задачи
В состав ассоциации входят 4 лесозаготовительных предприятия:
ЛПХ-1, ЛПХ-2, ЛПХ-3 и ЛПХ-4 с годовыми объемами выпуска пиловочника – , также 4
лесопильно-деревообрабатывающих комбината: ЛДК-1, ЛДК-2, ЛДК-3 и ЛДК-4 с
годовыми потребностями в пиловочнике – . Известны затраты на
транспортировку 1м3 пиловочника от каждого ЛПХ к каждому ЛДК.
Требуется:
Определить оптимальную схему поставок пиловочника от лесозаготовительных
предприятий к лесопильно-деревообрабатывающим комбинатам, минимизирующую
суммарные транспортные затраты.
Таблица 4.1 – Исходные данные
задачи
|
Лесозаготови-тельные
предприятия
|
Годовой выпуск
пиловочника, тыс. м3
|
Лесопильно-деревообрабатывающие
комбинаты
|
|
Годовая
потребность, тыс. м3
|
|
ЛДК – 1
|
ЛДК – 2
|
ЛДК – 3
|
ЛДК – 4
|
|
|
450
|
370
|
320
|
380
|
400
|
|
Затраты на
поставку 1 м3 пиловочника
|
|
ЛПХ – 1
|
500
|
3
|
7
|
8
|
5
|
0
|
|
ЛПХ – 2
|
300
|
8
|
6
|
4
|
0
|
|
ЛПХ – 3
|
550
|
9
|
7
|
6
|
5
|
0
|
|
ЛПХ – 4
|
540
|
4
|
5
|
8
|
10
|
0
|
Сопоставим суммарные объемы поставщиков и потребителей. Видим, что
общий объем пиловочника у поставщиков составляет 1920 тыс.м3,
а у потребителей – 1520 тыс.м3. Поскольку объемы не
равны, рассматриваемая транспортная задача относится к классу открытых. Для
перевода ее к закрытому типу с равенством возможностей и потребностей
вводим фиктивного потребителя с объемом УФ=400 тыс.м3.
Транспортные затраты на поставку фиктивному потребителю принимаем равными
нулю.
Математическая модель
задачи.
Введем обозначение:
хij - объем пиловочника, тыс.м3,
поставляемый от i-го ЛПХ к j-му ЛДК.
Тогда математическая модель имеет вид:
(4.1)
ü
Ограничения
по объемам поставщиков
(4.2)
ü
Ограничения
по объемам потребителей
(4.3)
В результате
расчета полученной математической модели транспортной задачи на ЭВМ методом
потенциалов (стандартная программа «TRANS») находим
оптимальный план перевозок:
Суммарные транспортные расходы
Используя полученные оптимальные объемы поставок пиловочника,
составляем оптимальную схему транспортировки пиловочника (рисунок 4.1).
Над стрелками транспортных потоков указаны объемы пиловочника. В
числителе указаны плановые объемы, в знаменателе - фактические.
Из схемы видим, что
все потребители удовлетворены в полном объеме.
Отметим, что
любое изменение полученной схемы транспортировки пиловочника может только
увеличить суммарные транспортные расходы.
|
|
|
Рисунок 4.1 – Оптимальная схема транспортировки
пиловочника
|
|
Лабораторная
работа № 4
Составление оптимального плана раскроя хлыстов на
сортименты
Условие задачи
На складе сырья лесопипьно-деревообрабатывающего
предприятия производится поперечный раскрой (раскряжевка) хлыстов на
сортименты. Необходимо получить сортименты трех видов (длин) в определенных
объемах (таблица 4.1); известны также длина и срединный диаметр раскраиваемых
хлыстов. Толщиной пропилов и припусками по длине при раскряжевке будем
пренебрегать.
Требуется:
Часть 1. Составить вручную
индивидуальные схемы раскроя хлыстов и определить симплекс-методом их
оптимальный план раскроя по критерию минимума количества раскраиваемых
хлыстов.
Часть 2. Составить
методом ветвей и границ оптимальные схемы раскроя хлыстов и определить
симплекс-методом их оптимальный план раскроя по критерию минимума количества
раскраиваемых хлыстов. Вычертить оптимальные схемы раскроя.
Часть 3. Определить
объемный выход сортиментов.
Дополнительные условия:
- Раскрой
хлыстов начинают с комлевой части, принимая комлевой торец за базу. Это
повышает объемный и качественный выходы сортиментов, так как в отходы
поступает наиболее тонкая и менее качественная вершинная часть хлыста.
- Для упрощения расчетов в качестве модели
формы хлыста можно принимать цилиндр.
Часть 1. Составление
индивидуальных схем раскроя хлыстов и определение оптимального плана раскроя
симплекс-методом по критерию минимума объема раскраиваемых хлыстов.
Вписываем сортименты по длине хлыста. Индивидуальные схемы
предполагают получение из хлыста сортиментов только одного вида. Получаем
следующие три схемы, представленные на рисунке 5.1. Характеристика схем раскроя
приведена в таблице 5.1.
Таблица 5.1 – Схемы раскроя хлыстов на
сортименты
|
Номер схемы раскроя (j)
по j-й схеме, шт.
|
Длинна отходов, , м, по j-й схеме раскроя
|
|
1
|
2
|
3
|
|
Длинна i-го сортимента, м
|
|
3,50
|
4,50
|
5,50
|
|
1
|
9
|
0
|
0
|
0,76
|
|
2
|
0
|
7
|
0
|
0,76
|
|
3
|
0
|
0
|
5
|
4,76
|