История открытия комплексных чисел
“Помимо и даже против воли того или другого
математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь
постепенно по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они
получают более и более широкое распространение” Ф. Клейн.
Автор:
Соловьев Алексей 12а.
ревнегреческие
математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно
складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.
В III веке
Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как . Наряду с натуральными
числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В
практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем
Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения
всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких
чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что “…
элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом является
гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием,
сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата
несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей
недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1.
Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра
теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью
опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.
Следующим
важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел -
это было сделано китайскими математиками за два века до н. э.
Отрицательные числа применяли в III веке
древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке
эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа
с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать
изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный
корень из положительного числа имеет два значения - положительное и
отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет
такого числа , чтобы .
В XVI веке в связи с
изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни
из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные
корни: .
Эта формула
безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень
(), а если оно
имеет три действительных корня (), то под знаком квадратного корня оказывалось
отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную
операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем,
как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для
решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков
доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить
алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с
помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление,
возведение в степень, извлечение корня).
В 1830 году
Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше
чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое уравнение n-й
степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней
(среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке
(основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая
теорема была доказана Гауссом.
Итальянский
алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он
показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве
действительных чисел, имеет решения вида , , нужно
только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной
алгебры и считать что . Кардано
называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически
отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В
самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения
какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году
вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены
первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения
из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году
французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков
XVIII века -
Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый)
для обозначения числа (мнимой
единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин “комплексные числа” так
же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus)
означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д.
Образующих единое целое.
В течение XVII века
продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать
им геометрическое обоснование.
Постепенно
развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков
была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из
отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей
формуле английского математика А. Муавра (1707): . С
помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов
кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : , которая связывала
воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера
можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно,
например, что . Можно
находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять
логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.
В конце XVIII века
французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не
затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие
уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в
сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял
комплексные числа для решения интегралов.
Хотя в течение XVIII века с
помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные
задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д.,
однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому
французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью
мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь
после подтверждения прямыми доказательствами.
“Никто ведь не
сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми
количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы
нелепых количеств” Л. Карно.
В конце XVIII века, в
начале XIX века
было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К.
Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили
изобразить комплексное число точкой на
координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не
самой точкой M, а
вектором , идущим
в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и вычитание
комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор можно задавать
не только его координатами a и b, но так же длиной r и углом j, который
он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом , и число z принимает
вид ,
который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r
называют модулем комплексного числа z и обозначают . Число называют
аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим, что
если , значение ArgZ не
определено, а при оно
определено с точностью до кратного . Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет
записать число z в виде (показательная форма комплексного
числа).
Геометрическое
истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с
функцией комплексного переменного, расширило область их применения.
Стало ясно, что
комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами,
которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости,
задач теории упругости.
Большой
вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и
советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М.
В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С.
Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.
Список
используемой литературы:
“Энциклопедический
словарь юного математика”
“Школьный
словарь иностранных слов”
“Справочник по
элементарной математике” М. Я Выгодский