Расчет адгезионных характеристик металлов в модели обобщенного потенциала Хейне-Абаренкова
Расчет адгезионных характеристик металлов в модели
обобщенного потенциала Хейне-Абаренкова
М.В. Мамонова, Р.В. Потерин, В.В. Прудников, Омский
государственный университет, кафедра теоретической физики
Явление
возникновения связи между поверхностными слоями разнородных конденсированных
тел, приведенных в соприкосновение, получило название адгезии. С физической
точки зрения, адгезия определяется силами межмолекулярного взаимодействия,
наличием ионной, ковалентной, металлической и других типов связи. Возникает
необходимость определения характеристик адгезионного взаимодействия различных
материалов как с точки зрения прикладной, так и фундаментальной науки о
поверхностных явлениях.
В
предлагаемой работе в рамках метода функционала плотности проведен расчет
адгезионных характеристик для ряда металлов. Исследованы влияния различных
приближений, учитывающих дискретность кристаллической структуры и неоднородность
электронного газа в межфазной области раздела. Для расчета влияния
электрон-ионного взаимодействия на адгезионные характеристики металлов нами был
впервые использован обобщенный псевдопотенциал Хейне-Абаренкова. Проведен
сравнительный анализ результатов, полученных с его использованием, с
результатами, полученными с привлечением иных моделей, в частности,
псевдопотенциала Ашкрофта.
Метод
функционала плотности состоит в решении вариационной задачи о нахождении
минимума энергии системы электронов, рассматриваемой на фоне заданного
положительного заряда. В качестве пробных функций электронного распределения,
как правило, выбирают решения формально линеаризованного уравнения
Томаса-Ферми, а вариационным параметром считают обратную длину экранирования .
Рассмотрим
два полуограниченных металла, занимающих области z<-D и z>D. Пусть
положительный заряд фона распределен в соответствии с формулой
где
и - плотности заряда фона; - ступенчатая функция. Решение
линеаризованного уравнения Томаса-Ферми с использованием граничных условий,
отражающих непрерывность электростатического потенциала (z) и электрической индукции d/dz при z=D, а также конечность потенциала на
бесконечности, позволяет при связи (z)=-4n(z)/ получить следующее выражение для плотности
электронного распределения n(z) в системе:
где
Определим
межфазную энергию взаимодействия контактирующих металлов, приходящуюся на
единицу площади, как интеграл по z от объемной плотности энергии основного
состояния электронного газа:
В
рамках модели "желе" объемная плотность энергии неоднородного
электронного газа может быть представлена в виде градиентного разложения:
где
есть
плотность энергии однородного электронного газа в атомных единицах, включающая
последовательно электростатическую, кинетическую, обменную и корреляционную
энергии, а
где
- фермиевский волновой
вектор, являются соответственно градиентными поправками второго порядка на
неоднородность электронного газа для кинетической энергии в приближении
Вейцзекера-Киржница и обменно-корреляционной энергии в приближении
Вашишты-Сингви (VS) [1]. Приближение VS является наиболее употребимым для
большинства металлов. Учет только поправки для кинетической энергии без
рассмотрения влияния соответствует
приближению хаотических фаз (ПХФ).
Поправки
к межфазной энергии, связанные с учетом дискретности распределения
положительного заряда, вычисляются в рамках модели псевдопотенциала
Хейне-Абаренкова:
усредненного
по кристаллическим плоскостям, параллельным поверхности металлов, и будут
характеризоваться параметрами и межплоскостными расстояниями . В результате поправка, связанная с
электрон-ионным взаимодействием, принимает вид:
Для
получения поправки к межфазной энергии, связанной с взаимодействием ионов
металлов, мы воспользовались интерполяционной формулой, предложенной в [2].
Тогда
где
- валентности металлов; - расстояния между ближайшими
ионами в плоскостях, параллельных поверхностям металлов.
В
соответствии с методом функционала плотности величина вариационного параметра находится из требования
минимальности полной межфазной энергии
где
.
Решение
уравнения (10) задает значения параметра как функцию величины зазора 2D. Итогом решения
вариационной задачи является полная межфазная энергия системы . Зная ее, легко найти энергию адгезии
системы как работу, необходимую для удаления металлов друг от друга на
бесконечность, т.е. . Тогда
сила адгезионного взаимодействия системы определяется как производная по D от
межфазной энергии при :
В
соответствии с вышеизложенной методикой разработана программа численного
интегрирования в (3) при одновременной минимизации в (10). Расчеты адгезионных
характеристик были проведены для ряда простых и переходных металлов, полагая,
что к межфазной границе раздела металлы направлены плотноупакованными гранями.
Значения исходных параметров, использованные для расчета адгезионных характеристик
металлов, приведены в следующей таблице:
Me
|
Z
|
а.е.
|
d, а.е.
|
rc, а.е.
|
Rm, а.е.
|
а.е.
|
Al
|
3
|
0.027
|
4.29
|
5.25
|
0.96
|
1.15
|
0.28
|
Pb
|
4
|
0.019
|
5.38
|
6.59
|
1.46
|
1.36
|
-0.67
|
Cu
|
0.025
|
3.92
|
4.80
|
0.92
|
1.41
|
1.21
|
Fe
|
4
|
0.050
|
3.84
|
4.70
|
0.95
|
1.03
|
0.94
|
Cr
|
4
|
0.049
|
3.85
|
4.72
|
0.96
|
1.02
|
На
рис.1 приведены графики рассчитанных в рамках модели обобщенного
псевдопотенциала Хейне-Абаренкова значений силы адгезионного взаимодействия как
функции величины зазора 2D для таких пар металлов, как Al-Pb, Fe-Cr, Fe-Pb,
Fe-Al, Al-Cu. На рисунках видно, что на малых расстояниях наблюдается притяжение металлических
поверхностей. Последующий рост величины зазора сопровождается отталкиванием
металлических поверхностей. При этом сила электростатического отталкивания
характеризуется максимумом при и сильным спадом при . Физически смена характера электростатической
силы адгезии связана с тем, что на малых расстояниях электронный
"хвост" одного металла проникает в ионный остов противоположного и
притягивается последним. При увеличении зазора электронный "хвост"
выходит из зоны взаимодействия с ионным остовом, взаимодействуя с электронным
"хвостом" противоположного металла. Это вызывает отталкивание
металлических поверхностей. Из графиков также видно, что значения адгезионных
характеристик для благородных и переходных металлов значительно выше, чем для
простых металлов.
Рис.
1 Сила адгезионного взаимодействия как функция величины зазора для пар
металлов: 1-Fe-Cr, 2-Fe-Al, 3-Fe-Pb, 4-Al-Cu, 5-Al-Pb
На
рис.2 приведены сравнительные адгезионные характеристики для пары простых
металлов Al-Pb, вычисленные как с использованием псевдопотенциала
Хейне-Абаренкова с обменно-корреляционной поправкой в приближении VS, так и
псевдопотенциала Ашкрофта (псевдопотенциал Хейне-Абаренкова переходит в
выражение для псевдопотенциала Ашкрофта при V0 = 0) с обменно-корреляционной
поправкой в приближении VS и в приближении ПХФ. Последнее обусловлено тем, что
в модели псевдопотенциала Ашкрофта поверхностная энергия алюминия наиболее
удачно описывается обменно-корреляционной поправкой VS, а поверхностная энергия
свинца - ПХФ [3]. Но методика расчета адгезионных характеристик требует
использования единой обменно-корреляционной поправки для обоих контактирующих
металлов. Это требование наиболее полно реализуется, как показано в данной
работе, при использовании для различных металлов псевдопотенциала
Хейне-Абаренкова с обменно-корреляционной поправкой в приближении VS.
Вычисления, проведенные в приближении псевдопотенциала Хейне-Абаренкова,
значительно уточняют соответствующие расчеты, проведенные в рамках модели
Ашкрофта, и могут быть распространены для описания адгезии как простых, так и
переходных металлов.
Рис.
2 Сила адгезионного взаимодействия как функция величины зазора для пары Al-Pb: 1
- модель Ашкрофта, приближение VS; 2 - модель Хейне-Абаренкова, приближение
VS; 3 - модель Ашкрофта, приближение ПХФ.
Список литературы
Vashishta P., Singwi K.S. Electron correlations at metallic
densities // Phys.Rev. 1972. B6. ò3. P.875-887.
Ferrante J., Smith J.R. A theory of adhesional bimetallic
interfaceoverlap effects // Surface Science. 1973. 38. ò1. P.77-92.
Вакилов
А.Н.,Прудников В.В.,Прудникова М.В. Расчет решеточной релаксации металлических
поверхностей с учетом влияния градиентных поправок на неоднородность электронной
системы // ФММ. 1993. 76. ò6. С.38-48.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/