Площадь поверхности тел вращения
МПС РФ
Омский Государственный Университет Путей Сообщения
Р Е Ф Е Р А Т
«Определение площади тела вращения с помощью
определенного интеграла.»
выполнила:
студентка
группы 29 Г
Митрохина Анна
Проверил :
Гателюк О.В.
Омск
2000г.
ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer - целый) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в
связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным
(например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по
скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу
сил за определенный промежуток времени и т. п.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ О
ПРОИСХОЖДЕНИИ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ
Символ введен Лейбницем (1675
г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы
слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690
г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое
переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно,
операция интегрирования “восстанавливает” функцию,
дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно
происхождение слова интеграл иное: слово integer
означает целый.
В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились
с предложением Я. Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой
ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.
Самое важное из истории интегрального исчисления!
Возникновение задач интегрального исчисления связано с
нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками
древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления
в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую
роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом
Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом
(ок. 287 - 212 до н. э.).
Однако Архимед не выделил общего содержания
интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма
интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках
изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский
язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не
получили.
Деятельность европейских ученых в это время была еще
более скромной. Лишь в XVI и XVII
веках развитие естественных наук
поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на
нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур
(задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести
.
Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на
латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их
изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального
исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального
исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи
нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.
Математики
XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились
на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод
неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например,
криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных
отрезков длиной f(x) , которым
тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В
соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной
сумме S
= бесконечно
большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что
отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые
сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.
На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной
основе И. Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая
астрономия” (1609
г.) и “Стереометрия
винных бочек” (1615
г.) правильно вычислил ряд площадей
(например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на
бесконечно тонкие пластинки).
Эти исследования были продолжены итальянскими
математиками Б. Кавальери (1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647
годы).
В XVII веке
были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению.
Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры
любой кривой y
=, где N - целое (т.
е. вывел формулу ),
и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И.
Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически
опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677
года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования
и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции
в виде степенных рядов.
|
Однако
при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить
общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить
связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно
точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг
от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница.
Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить
первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления
и т. п. Но главное уже было сделано:
дифференциальное и интегральное исчисление создано.
Методы математического анализа активно
развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л.
Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных
функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления
приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862
гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894
гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева,
доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные
функции.
Строгое изложение теории интеграла появилось
только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши,
одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866
гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).
Ответы на многие вопросы, связанные с существованием
площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922
гг.) теории меры.
Различные обобщения понятия интеграла уже в начале
нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 -
1941 гг.) и А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным
(1894 -1959 гг.)
ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.
Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой
y=f(x) вокруг
оси Ох.
Определим площадь этой поверхности на участке а ≤ х ≤ b. Функцию
f(x) предположим непрерывной и имеющей непрерывную
производную во всех точках отрезка [a;b]. Проведем хорды АМ
1,
М
1М
2,….М
n-1B длины которых обозначим через ΔS
1, ΔS
2…
ΔS
n (рис. 1). Каждая хорда длины ΔS
i (i=1,2,….n) при вращении опишет усеченный конус, поверхность
которого ΔP
i равна:
Применяя теорему Лагранжа получим:
,где
Следовательно
, или сумме
, (1)
распространенной на все звенья ломаной.
Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной ΔSi стремится к нулю, называется площадью, рассматриваемой
поверхности вращения. Сумма (1) не является интегральной суммой для функции
(2)
, так как в слагаемом, соответствующем отрезку [xi-1, xi ], фигурирует несколько точек этого отрезка xi-1, xi ,ξi.. Но
можно доказать, что предел суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для
функции (2), т.е.
или
(3)
Формула (3) определяет площадь Р
поверхности теля вращения возникающего в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной на отрезке а ≤ x ≤ b неотрицательной,
непрерывно дифференцируемой функцией f(x).
Если вращающаяся кривая задана параметрически: x=φ(t),
y=ψ(t) (t0 ≤ t ≤ t1) то формула (3) имеет вид,
(3/)