Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний
Способы получения уравнений состояния реальных физических
объектов ничем не отличаются от способов описания этих объектов с помощью
дифференциальных уравнений. Уравнения состояния записываются на основе
физических законов, положенных в основу работы объекта.
Рассмотрим электромеханическую систему, состоящую из
двигателя постоянного тока с независимым возбуждением, работающего на
инерционную нагрузку с вязким трением. Управляющим воздействием для двигателя
считаем напряжение на якоре U(t),
выходной координатой, угол поворота вала двигателя y(t)=j(t). Уравнение
электрической цепи имеет вид
,
где - противо ЭДС,
- угловая скорость вала двигателя, - единый электромагнитный коэффициент.
Уравнение моментов будет иметь следующий вид
,
где , J -
момент инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя, f
- коэффициент вязкого трения.
Выберем следующие переменные состояния: х1=i, x2=w, x3=j.
Получим
,
.
Запишем эти уравнения относительно переменных , ,
,
,
,
.
Запишем матричные уравнения
,
,
где
Рассмотрим структурную схему электромеханической системы с
двигателем постоянного тока, работающего на инерционную нагрузку с вязким
трением.
Рис. 2.1. Структурная
схема электромеханической системы с двигателем постоянного тока
Запишем уравнение состояния для механической системы,
представляющей собой груз массой m, подвешенный на
пружине и соединенный с гидравлическим демпфером. К грузу приложена сила P(t), выходная переменная перемещения
x(t), управляющие воздействия U(t)=P(t).
Уравнение движения груза получаем из уравнения равновесия сил
,
где - инерционная сила, f
- коэффициент вязкого трения, - сила сопротивления
демпфера, - сила сопротивления пружины.
Выбираем в качестве переменных состояния x(t) и - перемещение и скорость перемещения
соответственно.
Рис. 2.2.
Механическая система, включающая в своем составе пружину, массу и вязкий
демпфер
Так как дифференциальное
уравнение имеет второй порядок, то и количество переменных состояния будет
равно двум. Исходное уравнение движения груза можно записать в виде двух
уравнений
где U(t)=P(t) - управляющее воздействие.
Добавим к этим уравнениям
следующее уравнение выхода
.
Эти уравнения
представляют собой уравнения состояния приведенной механической системы.
Запишем эти уравнения состояния в матричном виде
,
.
Запишем это уравнение в
другом виде
,
,
С данным уравнением состояния можно сопоставлять следующую
структурную схему, где двойными линиями показаны векторные переменные.
Рис.
2.3. Структурная схема
Пример: Рассмотрим электрическую цепь и получим уравнение
состояния RLC цепи
Рис.
2.4. RLC цепь
Динамическое поведение этой электрической системы полностью
определяется при t³t0, если известны начальные
значения: i(t0), ec(t0) и
входное напряжение e(t) при t³t0,
следовательно, эта система полностью определяется переменными состояния i(t) и ec(t). При
указанных переменных состояния i(t) и ec(t)
имеем следующие уравнения
где , .
Введем следующие обозначения
В соответствии с этими обозначениями получаем
причем .
Следовательно, для электрической цепи запишем эту систему в
векторно-матричном виде
,
.
Запишем матричные уравнения
,
,