Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Лабораторная работа

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Задание. Для каждого уравнения отделить корни

а) табулированием;

б) графически.

. Уточнить один корень одного из уравнений с точностью e=0.01 методами половинного деления и простых итераций, а так же одним из следующих методов (по указанию преподавателя):

а) хорд

б) касательных

в) секущих

Решение: а) графически;

Чтобы отделить корни уравнения графическим методом, необходимо построить график функции и посмотреть, в каких точках график пересекает ось х. Эти точки будут являться корнями уравнения.

На графике видно, что корень уравнения находится на интервале (1; 2)

На этом графике видно что На графике видно, что корни уравнения находится на интервалах (-3; - 2), (-1; 0), (0; 1), (1; 2).

Для дальнейшего отделения корней необходимо воспользоваться методом табулирования.

Метод половинного деления

В этом методе вычисляется значение функции путём подстановки некоторого значения , смещающегося при каждой итерации на определённый шаг (не более ), в уравнение. В дальнейшем строится таблица, с помощью которой можно определить интервалы залегания корня.

По алгоритму представленному выше мы можем найти интервалы, на которых находятся корни уравнения.

Для функции

Из таблицы мы видим, что корень уравнения залегает на интервале [1,3; 1,4].

Для функции

Из этих таблиц видим что корни залегают на интервалах [-2,8; - 2,9], [-0,3; - 0,2], [0.3; 0,4], [1,4; - 1,5]. (Для уточнения взят интервал [-0,3; - 0,2])

Первый способ уточнения корня уравнения - метод половинного деления (дихотомии). Для этого следует разделить отрезок [a, b] пополам точкой . Возможны два случая: либо f(x) меняет знак на отрезке [a, c], либо на отрезке [c, b]. Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и, продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения. Воспользуемся методом половинного деления с помощью данного алгоритма:

С помощью метода половинного деления корень был уточнен для уравнения

до значения .

Второй способ уточнения корня уравнения - метод простых итераций (ПИ).

Для этого метода необходимо выразить из начального уравнения генерирующее отношение вида . Для уравнения  было получено генерирующие отношение вида .

Для того чтобы метод простых итераций выполнялся, генерирующее соотношение должно удовлетворять условию , где х принадлежит интервалу, на котором находится корень.

Продифференцируем выражение

Для проверки применимости метода возьмем значение х, которое находится посередине интервала [1,3; 1,4], т.е. х = 1.35.

-1.4

Так как условие не выполняется , то метод в данном случае не применим, но если бы он был бы применим то корень был бы уточнен с помощью этого варианта:

Для дальнейшего уточнения корня воспользуемся методом касательных.

Метод касательных

Для уточнения корней методом касательных необходимо взять начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего построить касательную к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эту точку необходимо взять в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута требуемая точность.

В качестве  выступает уравнение  а в качестве  - её производная . Реализация метода касательных представлена в следующем алгоритме:

корень уравнение итерация алгебраический

С помощью метода касательных корень был уточнен до значения  при начальном приближении . Результат был достигнут за 1 шаг.