(1)
Передаточные
функции типовых звеньев представлены в таблице 2.2
Таблица
2.2
№
|
Название звена
|
Обозначение передаточной
функции
|
Передаточные функции
отдельных звеньев
|
1.
|
Чувствительный элемент (ЧЭ)
|
W1(p)
|
|
2.
|
Преобразующий элемент (ПЭ)
|
W2(p)
|
kп
|
3.
|
Регулирующий орган (РО)
|
W5(p)
|
kp
|
4.
|
Объект регулирования
|
W6(p)
|
|
Структурная схема будет иметь вид:
Рис.4. Структурная схема
Используя правила преобразования структурных схем, находим передаточные
функции замкнутой и разомкнутой систем регулирования.
Передаточная функция разомкнутой САР будет иметь вид
Передаточная
функция замкнутой САР будет иметь вид
.
Уравнения динамики замкнутой и разомкнутой САР в форме обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений.
Дифференциальное
уравнение разомкнутой САР в общем виде
где
А3=
А2=
А1=
А0=1
В0=
Дифференциальное
уравнение замкнутой САР в общем виде
где
А3=
А2=
А1=
А0=1+
В0=
.
По таблице 2.3. и 2.4. [1] значения постоянных коэффициентов (времени и
усиления) подставляем в уравнения динамики САР и оцениваем устойчивость.
Устойчивость целесообразно оценивать по алгебраическим критериям.
Численные
значения коэффициентов уравнений
Таблица
2.3
Предпоследняя цифра шифра
|
|
|
|
|
|
2
|
0,7
|
1,0
|
0,4
|
1,5
|
11
|
Численные значения коэффициентов уравнений
Таблица 2.4
Последняя цифра шифра
|
|
|
|
|
|
|
1
|
1,3
|
0,8
|
5,2
|
0,6
|
0,8
|
1,2
|
С учетом данных по таблицам 2.3 и 2.4 коэффициенты в дифференциальных
уравнениях будут равны:
A3=
|
3,64
|
A2=
|
5,9
|
A1=
|
6,2
|
A0=
|
8,8
|
B0=
|
0,432
|
для замкнутой САР
A3=3,64
|
|
A2=
|
5,9
|
A1=
|
6,2
|
A0=
|
9,232
|
B0=
|
0,432
|
Проведем оценку устойчивости разомкнутой системы САР с помощью
алгебраических критериев Рауса и Гурвица. Раус и Гурвиц показали, что САУ
(система автоматического управления) или САР, описываемая характеристическим
уравнением
,
будет
устойчива, если при Аn>O все «n» определители Гурвица (Δn) будут
положительны, т.е.
и
т.д.
3,64
|
р3+
|
5,90
|
р2+
|
6,20
|
р+
|
8,8
|
Произведем оценку по данному критерию устойчивости
.
Составим
определитель Гурвица Δ
Определим
все диагностические миноры
1=6,2
4,548
16,555
Т.о.
САР по критерию Рауса -Гурвица устойчива, т.к. А3=3,64>0 и все диагональные
миноры положительны.
Задача
№3. Оценка устойчивости разомкнутых и замкнутых САР
Оценить
устойчивость работы систем автоматического управления авиационных ГТД.
Выбор
вариантов - по трем последним цифрам шифра зачетной книжки.
Последние
три цифры шифра 821.
Исходные
данные:
Коэффициенты
уравнения динамики чувствительного элемента (ЧЭ) выбираются по таблице 3.1. по
последней цифре шифра -1
=1,27, 0,92, 0,61
Коэффициенты
уравнения динамики преобразующего элемента (ПЭ) и регулирующего органа
выбираются по таблице 3.2. по предпоследней цифре шифра- 2
0,9; 1,1.
Коэффициенты
уравнения динамики ГТД объекта регулирования (ОР) выбираются по третьей с конца
номера зачетной книжки в соответствии с таблицей 3.3. - 8
=0,22, 0.95
Решение
1. Используя функциональную схему (рис. 3.1) и структурную схему
(рис.3.2), запишем уравнение динамики разомкнутой и замкнутой систем
автоматического регулирования в общем виде
В
написании передаточной функции ЧЭ есть ошибка, поэтому рис.3.2 приводим с
исправлением: вместо записываем .
Рис.3.1.
Функциональная схема регулятора оборотов двигателя ГТД
Рис.3.2.
Структурная схема регулятора оборотов ГТД
Уравнение
динамики разомкнутой САУ в общем виде будет иметь вид:
Уравнение
динамики замкнутой САУ в общем виде будет иметь вид:
.
С учетом исходных данных, выбранных по таблицам 3.1-3.3, запишем уравнения
динамики в виде линейного дифференциального уравнения с известными уравнениями
для разомкнутой и замкнутой САУ.
Конечная
задача исследования устойчивости любой САУ состоит в получении обобщенного
дифференциального уравнения системы, характеризующего протекание в ней
динамических процессов. Одним из возможных путей получения такого уравнения САУ
является совместное решение системы дифференциальных уравнений типовых звеньев,
из которых состоит рассматриваемая система уравнений.
Для
разомкнутой
с
учетом подстановок и преобразований
Дифференциальное
уравнение разомкнутой САУ будет иметь вид
с
учетом подстановок и преобразований
Дифференциальное
уравнение замкнутой САУ будет иметь вид
.
Оценка устойчивости разомкнутой системы с помощью алгебраических критериев
Рауса и Гурвица
Устойчивой
называется такая САУ, которая, будучи, выведенной из состояния равновесия,
после устранения внешних воздействий возвращается к исходному состоянию
равновесия. Оценить устойчивость САУ можно с помощью специальных критериев
устойчивости, которые представляют собой некоторую совокупность алгебраических
действий, в результате которых определяются знаки корней характеристического
уравнения системы. Примером критерии устойчивости является критерий Рауса -
Гурвица. Раус и Гурвиц показали, что САУ, описываемая характеристическим уравнением
,
будет
устойчива, если при Аn>O все «n» определители Гурвица (Δn) будут
положительны, т.е.
и
т.д.
Произведем
оценку по данному критерию устойчивости
.
Составим
определитель Гурвица
Δ
Определим
все диагностические миноры
1=1,22
1,505
0,573
Т.о.
САУ по критерию Рауса -Гурвица устойчива, т.к. А3=0,381>0 и все диагональные
миноры положительны.
Считается,
что САУ теряет свою устойчивость, когда хотя бы один числовой коэффициент будет
отрицательным. Найдем критическое значение коэффициента А3 , начиная с
которого, т.е. при А3> Акр данная САУ теряет свою устойчивость.
А1А2-А3А0=0
- САУ на границе устойчивости.
А3=Акр;
А1А2=АкрА0;
Акр =А1А2/А0 , Акр = 1,22∙ 1,55/1=1,866
Т.о.,
начиная с А3³ 1,866 САУ, теряет свою устойчивость.
.
Устойчивость САУ можно, также, оценить с помощью графоаналитического критерия
А.В. Михайлова. С этой целью необходимо в характеристическом уравнении системы
заменить оператор Р на чисто мнимое выражение
jw, где w- угловая частота. Полученный многочлен можно считать
вектором, модуль и направление которого будут определяться значением частоты w
(jw)=X(w)+jY(w),
Где X(w)- вещественная часть;Y(w) мнимая часть.
Для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор
F(jw) брал начало на положительной
вещественной оси X(w) при w=0 в т.А0 и затем монотонно вращался
при изменении w от
0 до ¥
в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, совершая поворот на
угол “n” квадранта.
Годограф вектора F(jw), т.е. кривая, которую описывает
конец вектора называется кривой Михайлова при изменении w от 0 до ¥, выходит из точки А0 и обходит
последовательно в положительном направлении “n” квадрантов, где n - показатель степени характеристического уравнения системы.
Оценим устойчивость САУ с помощью частотного критерия Михайлова А.В.
Р заменим на jw.
(jw)=А3 (jw)3+ А2 (jw)2 +А1 (jw)+ А0
F(jw)= 0,381 (jw)3+1,55 (jw)2 +1,22 (jw)+1;
F(jw)=X(w)+jY(w) Þ X(w)=-1,55 w2 +1Y(w)=j(-0,381 w3+1,22 w)
Зададимся
рядом чисел w
w
|
0
|
1
|
2
|
3
|
X(w)
|
1
|
-0,546
|
-5,184
|
-12,914
|
jY(w)
|
0
|
0,839
|
-0,608
|
-6,627
|
Рис.3.3
Мы построили кривую Михайлова на комплексной плоскости, для чего отложили
две оси - вещественную X(w) и мнимую jY(w).
Таким образом, САУ устойчива, так как вектор F( jw)
берет начало при w=0
на положительной вещественной оси X(w) в
т. А0= (1;0), далее вращается против часовой стрелки при изменении w от 0 до ¥, совершая поворот на 3 квадранта.
. Несколько особое место среди критериев устойчивости САУ занимает
критерий Найквиста- Михайлова. Этот критерий позволяет судить об устойчивости
замкнутой по АФЧХ разомкнутой САУ, которая может быть получена расчетным путем
с использованием передаточной функции системы.
При построении АФЧХ разомкнутой АСУ вначале следует по известному
дифференциальному уравнению этой системы получить выражение ее передаточной
Wсау (Р). Далее необходимо оператор Р заменить на мнимое выражение jw(P)=M(w)+jN(w).
Конец вектора W (Р) при изменении w от 0 до ¥ будет описывать кривую, которая
совпадает с АФЧХ системы. Критерий Найквиста гласит: для того, чтобы АСУ,
устойчивая в разомкнутом состоянии, была устойчивой и в замкнутом состоянии,
необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора АФЧХ W(jw) не охватывал точку с координатой
(-1;0) на вещественной оси.
Оценим устойчивость замкнутой САУ с помощью критерия Найквиста, причем А3
кр=0,5 Акр=0,5∙ 1,866 = 0,943
Вместо
Р подставим jw
(*)
Домножим
уравнение (*) на сопряженный многочлен и после преобразований получим
Получим
вид передаточной функции с учетом разложения на действительную и мнимую часть
(P)=M(w)+jN(w),(w)=;(w)=
Зададимся
рядом чисел w
w
|
0
|
0,1
|
0,3
|
0,4
|
0,5
|
0,6
|
0,7
|
0,8
|
0,9
|
1
|
1,1
|
1,2
|
1,3
|
M(w)
|
0.6042
|
0.6041
|
0.6034
|
0.6016
|
0.5961
|
0.5792
|
0.5284
|
0.3813
|
0.0162
|
-0.5116
|
-0.7190
|
-0.6057
|
-0.4479
|
-0.3269
|
jN(w)
|
0
|
-0.0743
|
-0.1521
|
-0.2381
|
-0.3390
|
-0.4654
|
-0.6316
|
-0.8411
|
-1.0017
|
-0.8220
|
-0.3621
|
-0.0601
|
0.0602
|
0.0980
|
Построим вектор АФЧХ
Рис.3.4
Т.о. САУ устойчива, т. к. годограф вектора АФЧХ разомкнутой системы при
изменении w от
0 до ¥
не охватывает точку с координатой (-1;0) на вещественной оси.
Вывод: в завершении выполненного задания можно подвести итог, что
рассматриваемая САУ устойчиво работает - о чем свидетельствуют аналитический
критерий Рауса - Гурвица, частотные критерии Михайлова А.В. и критерий
Найквиста- Михайлова.
4. Литература
1. В.В.
Никонов. Основы автоматики. Пособие по выполнению контрольной работы.: М.: МГТУ
ГА, 2005 г. -32 с.
2. Черкасов
Б.А. Автоматика и регулирование воздушно-реактивных двигателей. М.:
Машиностроение, 1988 г.
3. Шевяков
А.А. Системы автоматического управления авиационными воздушно-реактивными
силовыми установками. М.: Машиностроение. 1992 г.
. Гаевский
С.А., Морозов Ф.П., Тихомиров Ю.П. Автоматика авиационных газотурбинных силовых
установок. М.: Военное издательство МО СССР, 1980 , 248 с.
Похожие работы на - Разработка структурной схемы к элементу с результирующей передаточной функцией
|