Расчеты с простыми процентами
1. Задания по теме
«Расчеты с простыми процентами»
Ссуда в размере 100 000 руб. выдана
21 января под 8% годовых. Срок возврата ссуды - 5 октября. Определите размер
погасительного платежа, применяя:
А) точные проценты с фактическим
числом дней ссуды;
Б) обыкновенные проценты с
фактическим числом дней ссуды;
В) обыкновенные проценты с
приближенным числом дней ссуды.
Решение
А) Найдем по таблице №1 фактическое
число дней ссуды - 257. Дней в году 365. Применяем формулу для нахождения
размера погасительного платежа.
=P (l+ni),
где P - первоначальная величина
кредита (сумма, взятая в кредит) = 100000;- наращенная величина кредита (сумма,
подлежащая возврату);- срок кредита, измеряемый в годах = 257 дней;- годовая
процентная ставка (в формуле выражается в сотых долях) =
8%.=100000*(1+(257/365)*0,08)=105632,88 руб.
Б) Фактическое число дней ссуды -
257. Дней в году 360. Подставляя данные имеем:=100000*(1+ (257/360)*0, 08)
=105711, 11 руб.
В) Число дней ссуды - 254. Дней в
году 360. Подставляя данные имеем:=100000*(1+ (254/360)*0, 08) =105644, 44 руб.
Контракт предусматривает следующий
порядок начисления процентов: первый год - 6%, в каждом следующем полугодии
ставка повышается на 0,5%.
Определите множитель наращения за
2,5 года.
Решение
Если в течение срока кредита
процентная ставка изменяется, то множитель наращивания равен:
где n - срок кредита,
измеряемый в годах;- годовая процентная ставка (в формуле выражается в сотых
долях).
В нашем случае n=6%,
n=6%,
n=6,5%,
n=7%,
n=7,5%.=1+0,5*0,06+0,5*0,06+0,5*0,065+0,5*0,07+0,5*0,075=1,165
Обязательство уплатить
через 180 дней 300 000 руб. с процентами по ставке 6% годовых было учтено в
банке за 120 дней до срока, учетная ставка 7,5%.
Определите:
А) полученную при учете
сумму;
Б) эквивалентную ставку
процентов, дающую при учете тот же результат (К=360).
Решение
А) Используем формулу
для нахождения суммы выплаты:
,
где d количество дней
кредита;- первоначальная величина кредита (сумма, взятая в кредит);- наращенная
величина кредита (сумма, подлежащая возврату);- дней в году (в зависимости от
метода);- годовая процентная ставка (в формуле выражается в сотых
долях).=300000*(1+ (60/360)*0,075=303750 руб.
Б) Найдем прибыль банка
за 180 дней:=300000*(1+
(180/360)*0,075=309000 руб.
Изменим формулу для
вычисления эквивалентной процентной ставки:
= (((S/P)
- 1*k)/d
= (((309000/300000) -
1)*360)/60=18%
Решено консолидировать
(объединить) три платежа со сроками 15 мая, 15 июня, 15 августа. Суммы платежей
10000, 20000 и 15000 руб. соответственно. Срок консолидированного платежа 1
августа. Ставка процентов - 8%.
Определите сумму
консолидированного платежа. При начислении процентов используйте метод 365/360.
Решение
Найдем по таблице №1
сроки платежей на 1 августа. d=78; d=47;
d=-14.
Используя формулу:
,
где d количество дней
кредита;- первоначальная величина кредита (сумма, взятая в кредит);- наращенная
величина кредита (сумма, подлежащая возврату);- дней в году (в зависимости от
метода);- годовая процентная ставка (в формуле выражается в сотых долях).=10000*(1+
(78/360)*0, 08) =10173, 33 руб.=20000*(1+ (47/360)*0,
08) =20288, 88 руб.=15000*(1
- (14/360)*0, 08) =14953, 33 руб.
Консолидированный
платеж:=10173,
33+20288, 88+14953, 33=45415, 54 руб.
2. Задания по теме
«Расчеты со сложными процентами»
Кредит в размере 300000
руб. выдан на срок 3 года 160 дней. Контрактом предусмотрена ставка сложных
процентов, равная 6,5% годовых.
Определите сумму долга
на конец срока, используя:
А) точный метод
начисления сложных процентов;
Б) смешанный метод
начисления сложных процентов. Сравните полученные результаты.
Решение
а) Для вычисления суммы долга
на конец срока, используем формулу точного метода начисления сложных процентов:
S=P (1+)
где j - номинальная
ставка процентов, задаваемая для срока, равного одному году;
т - количество
начислений процентов в год =1
п - срок кредита,
измеряемый в годах
T
= 300000 * (1 + (0,065/ I)) 1*3, 44 = 372566, 58 руб.
б) Для вычисления суммы долга
на конец срока, используем формулу смешанного метода начисления сложных
процентов:
S=P (1+)(1+D(mn))
где E(mn) - целая часть
показателя степени в предыдущей формуле(тп) - дробная часть показателя степени
в предыдущей формулеc = 300000 * (1 + (0,065 / 1))1*3 *
(1 +(0,065 / 1 * 0,44)) = 372749,09 руб.
Сумма долга вычисленного
точным методом больше.
Сравните условия вложения средств в
банк в следующих случаях:
) номинальная ставка 26% при
ежемесячном начислении процентов;
2) номинальная ставка 27% при
ежеквартальном начислении процентов;
) номинальная ставка 28% при
начислении процентов каждые полгода;
Сравнение проведите двумя способами,
используя: а) эффективную ставку процентов; 6) время удвоения вклада.
Решение
а) Найдем эффективную ставку
процентов по формуле:
i=
(1+)-1
т - количество начислений процентов
в год: m1 = 12, m2 = 4, m3 = 2.
1) i
= (1 +(0,26 / 12)12- 1 = 0,2933
2) i=
(1 + (0,27 / 12)4 - 1 = 0,2985
3) i|=
(1 + (0,28 / 12)2 - 1 = 0,2996
б) Найдем время удвоения по
формуле:
т 2=
1) т2 = In 2 / (12 ln (1 +(0,26/ 12))) = 2,6947
2) т2 = In 2 / (4 ln (1 + (0,27 / 4))) = 2,6529
Вклад под 28% самый выгодный.
Кредит в сумме 100 000 руб. взят на
5 лет с ежегодным начислением процентов по ставке 5%. Соглашение пересмотрено
так, что через два года производится выплата 30 000 руб., а еще через четыре
года выплачивается оставшаяся часть долга.
Решение
1) Найдем сумму выплаты через 2
года
S = 100000 * (1 +(0,05 /
1)
= 110250 руб.
Т.к. вкладчик погасил
часть платежа, то сумма составит: = 110250 - 30000 =
80250 руб.
2) Найдем сумму выплаты через 4 года
S0 = 80250 * (1 + (0,05 /
I)1 *4 = 97544,37 руб.
3. Задания по теме
«Количественный анализ потоков платежей»
Вычислите коэффициент аккумуляции за
5 лет для потока платежей пренумерандо, если взносы осуществляются
ежеквартально, начисление процентов ежеквартальное по номинальной ставке 10%.
Решение
Коэффициент аккумуляции для потока
платежей пренумерандо вычисляется по формуле:
;
где п - срок потока
платежей в годах - 5 лет
р - количество выплат в
течение года - 4
т - количество
начислений процентов в течение года - 4q находится по формуле:
=1+,
- номинальная ставка
сложных процентов - 10%= 1 +0, 1 / 4= 1,025 = 1,0254/4 *
((1,0254*5) - 1)/(1,0254/4 - 1) = 26,18
Решите предыдущую задачу при
условии, что взносы осуществляются ежемесячно, а начисление процентов -
ежеквартально.
Решение
Таким образом р - количество выплат
в течение года - 12 т - количество начислений процентов в течение года - 4-
1,025
Применяем ту же формулу:
;
a
= 1,0254/12 * ((1,0254 *5) - 1) / (1,0254/12
- 1) = 86,52
Решите задачу 3.2 для потока
платежей постнумерандо.
Решение
Коэффициент аккумуляции для потока
платежей постнумерандо вычисляется по формуле:
;
=(1,025-1)/(1,025-1)=65,54
В банк вносятся
ежегодно, в начале года, вклады. Величина первого вклада - 100 000 руб., каждый
следующий вклад на 20 000 руб. больше предыдущего. Проценты начисляются
ежегодно по ставке 10%.
Определите аккумулированную
сумму вклада за 5 лет.
Решение
Для переменных годовых рент с
постоянным абсолютным изменением выплат потока пренумерандо, аккумулированная
сумма могут быть вычислена по формуле:
S=uq;
процент платеж
постнумерандо вклад
где q вычисляется по
формуле
=1+,
где и - величина первой выплаты потока - 100000- величина,
показывающая, на сколько каждая следующая выплата отличается от предыдущей -
20000- срок потока платежей в годах - 5 лет- номинальная ставка процентов,
задаваемая для срока, один год - 10%
т - количество начислений процентов в течение года - 1- множитель
наращения периода начисления процентов=1+0,1/1=1,1
a
= (100000 * 1,1 * (1,15 - 1) / (1,1 - 1)) +(20000 * 1,1 *((1,15-1)
/ (1,1 - -1)2)-
(5/(1,1 - 1))) = 914683 руб.
В задаче 3.2 определить текущую
(первоначальную) стоимость вклада при постоянных выплатах, равных 100 000 руб.
Решение
Определим текущую стоимость вклада
через стоимость постоянных потоков платежей:
;
где r - величина
постоянных выплат, образующих поток;
п - срок потока платежей
в годах;
р - количество выплат в
течение года;
т - количество
начислений процентов в течение года;
=1+;
- номинальная ставка
сложных процентов.= 1,025
Ра = 100000 * 1,0254/4
* (1,0254*5 - 1)/(1,025 4*5 * (1,025 4/4 - 1))
- 1598100
В банк вносятся ежегодно, в начале
года, вклады. Величина первого вклада - 100 000 руб., каждый следующий вклад на
5% больше предыдущего. Проценты начисляются ежегодно по ставке 10%.
Определите аккумулированную сумму
вклада за 5 лет.
Решение:
Для переменных годовых рент с
постоянным абсолютным изменением выплат потока пренумерандо, аккумулированная
сумма могут быть вычислена по формуле:
S=uq;
где q вычисляется по формуле
q=1+,
где и - величина первой выплаты потока - 100000- величина,
показывающая, на сколько каждая следующая выплата отличается от предыдущей - 5%
п - срок потока платежей в годах - 5 лет- номинальная ставка
процентов, задаваемая для срока, один год - 10%
т - количество начислений процентов в течение года - 1- множитель
наращения периода начисления процентов.= 1 +0,1 / 1 = 1,1a - (100000
* 1,1 * (1,15 - 1)/(1,1 - 1)) + (5000 * 1,1 * ((1,15 -
1)/(1,1 - 1)2) - (5 / (1,1 - 1))) = 732341,5
руб.
Через 5 лет необходимо начать инвестирование проекта, требующее
ежегодных вложений по 1 млн руб. в начале каждого года в течение 5 лет.
Определите величину ежегодных платежей для аккумуляции необходимых для
осуществления инвестиций средств при условии, что вложения производятся
ежегодно (в конце года). Считайте, что проценты начисляются ежегодно по ставке
7%. Определите текущую (первоначальную) стоимость вклада.
Решение
) Найдем совместную стоимость потока платежей постнумерандо, на
конец вложений, по формуле:
;
где г - величина постоянных выплат,
образующих поток - 1 мил. руб.
п - срок потока платежей в годах - 5
лет
р - количество выплат в течение года
- 1
q=1+;
- номинальная ставка процентов,
задаваемая для срока, один год - 7%= 1 +0,07/1= 1,07
Рр= 1000000* 1,07 * (1,075
- 1)/(1,075 * (1,071/1 - 1)) = 4387211 руб.
) Для того что бы определите текущую
стоимость вклада воспользуемся формулой:
S=r
где г - величина постоянных выплат,
образующих поток - необходимо найти?
п - срок потока платежей в годах;
р - количество выплат в течение
года;
т - количество начислений процентов
в течение года;- номинальная ставка сложных процентов.
S/r
= ((1 +0,07/ 1)5 - 1)/((1 +(0,07/1)1 - 1) = 5,75= 4387211
/ 5,75 =762895,16 руб.
Решите предыдущую задачу
при условии, что аккумуляция средств осуществляется в течение трех лет
платежами пренумерандо. Определите текущую (первоначальную) стоимость вклада.
Решение
Т.к. совместную
стоимость потока платежей равна 4387211 руб., a q = 1,07. Применим формулу для
аккумуляции средств пренумератдо:
=r (1+)
Sa/r = (1
+0,07/ I)1/1 * ((1 + 0,07/ l)3 - l)/((1 +(0,07/1)-1)
= 3,43=4387211/3,43=1279070 руб.
4. Планирование
погашения долгосрочных задолженностей
Рассчитайте величину
платежей погашения кредита в 5 млн руб. равными аннуитетами постнумерандо в
течение 10 лет, если ставка сложных процентов равна 8% при ежегодном начислении
процентов.
Составьте план
амортизации с указанием частей аннуитета, идущих на погашение основного долга и
выплату процентов на текущий остаток долга.
Решение:
1) Найдем величину платежей по формуле:
R = S
где q = 1 + i= 5000000 *
(1,0810 * (1,08 - 1))/(l, 0810-l) - 745150 руб.
) Составим план
амортизации:
Год к
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
Остаток Sk
|
46548,52
|
4282093
|
3879476
|
3444501
|
2975100
|
2467907
|
1920290
|
1328773
|
% на остаток
|
372388
|
345567
|
310358
|
275560
|
238008
|
197432
|
153623
|
106301
|
Погашение Долга Ьk
|
345147
|
372759
|
402579
|
434788
|
469586
|
507139
|
547714
|
591523
|
b=R-Si=
S
Кредит в 50 млн руб.
взят на 10 лет под 10% годовых с выплатой равными аннуитетами постнумерандо.
После 8 лет выплат решено погасить остаток долга единовременным платежом.
Определите величину погасительного платежа.
Решение
Найдем величину платежа
по формуле:
= S
где q = 1 + i q=1,1k=
50000000 * 1,18* (1,0810-8 - 1)/(1,0810 - 1)=
15389033 руб.
Затем в 10 млн. рублей
на 5 лет может быть получен в трех различных банках на следующих условиях:
) курс займа С = 80,
процентная ставка - 6%;
) курс займа С = 90,
процентная ставка - 7%;
) курс займа С = 95,
процентная ставка - 8%;
Сравните условия займов
и определите наиболее выгодные из них.
А) Найдем для каждого
случая курс займа, по формуле:
=
Отсюда следует - Sd
= S0 * 100 / С
где So - величина суммы,
полученной должником;d - величина долга, записанная кредитором за
должником.
) Sd1=
10000000 * 100 / 80 = 12,5 млн. руб.
2) Sd2 = 10000000 * 100 / 90 = 11,11 млн. руб.
3) Sd3 = 10000000 * 100/95 = 10,52 млн. руб.
Б) Для того чтобы сравнить условия
займов найдем величину погасительного платежа по формуле:
R = S
где q = 1 + i q
= 1,06 q2:=l, 07 q3=l, 07
) R = 12500000 * 1,065
* (1,06 - 1) / (1,065 - 1) = 2,967 млн. руб.
) R = 11110000 * 1,075
* (1,07 - 1)/(1,075 - 1) = 2,709 млн. руб.
) R=10520000 * 1,085
* (1,08 - 1)/(1,085 - 1) = 2,634 млн. руб.
Платеж №3 самый
выгодный.
Список литературы
1. Четыркин Е.М. Методы финансовых и экономических расчетов. - М.:
Дело ЛТД, 1995 г.
. Кочович Е. Финансовая математика. - М.: Финансы и статистика,
1994 г.