Анализ систем автоматического регулирования
Задание на курсовую работу
1. Провести структурные преобразования САР, превратив систему в
одноконтурную.
. По передаточным функциям звеньев одноконтурной САР определить
передаточные функции и характеристические уравнения разомкнутой и замкнутой
систем.
. Определить передаточный коэффициент разомкнутой системы и
статизм.
4. Исследовать замкнутую систему на устойчивость с применением
критериев:
a) Гурвица; если система неустойчива, найти значение критического
коэффициента усиления и, изменив значение одного или обоих коэффициентов
обратных связей (β1 и β2) добиться устойчивости системы;
b) Михайлова;
c) Найквиста;
5. По передаточной функции замкнутой системы на ЭВМ построить кривую
переходного процесса.
6. По кривой переходного процесса определить основные показатели
качества: время регулирования, величину перерегулирования, колебательность
процесса и сделать вывод - отвечает исследуемая система требуемым показателям
качества или нет.
Вариант № 944
Структурная схема САР
Придаточные функции звеньев САР
Параметры
звеньев САР
k1
|
1.5
|
k2
|
1,1
|
k3
|
1.5
|
T|3(c)
|
4
|
T3(c)
|
4
|
β1
|
2
|
. Структурные преобразования САР
Исходная схема
) По правилу последовательного соединения звеньев САР, приведем схему к
виду:
)
По правилу встречно-параллельного соединения звеньев САР, приведем схему к
виду:
)
По правилу последовательного соединения звеньев САР, приведем схему к виду:
.
Определение передаточных функций и характеристических уравнений разомкнутой и
замкнутой систем
Передаточная
функция замкнутой системы определяется по формуле:
Числитель
данного выражения представляет собой передаточную функцию при отсутствии обратной
связи.
Таким образом, передаточная функция разомкнутой системы равна:
Найдем
передаточную функцию замкнутой системы:
. Характеристические уравнения для разомкнутой и замкнутой системы
Запишем характеристические уравнения для
а) замкнутой системы:
б) разомкнутой системы:
4.
Определение передаточного коэффициента разомкнутой системы и статизма
Статический коэффициент передачи Краз определяется как отношение
выходной величины к входной в установившемся режиме. Следовательно, Краз есть
частный случай Wраз(Р), т.к. в статике
Следовательно, из выражения для передаточной функции можно получить
статический коэффициент передачи, положив P = 0
Найдем Краз для исследуемой системы при p = 0:
Работа
САР в статике характеризуется относительной статической ошибкой (статизмом),
который определяется по формуле
Найдем
статизм исследуемой системы:
, система астатическая.
5.
Исследование замкнутой системы на устойчивость
Критерий
Гурвица
Для определения устойчивости системы необходимо положить Х(Р) = 0 и
найти У(Р), т.е. решить уравнение
Решение дифференциального уравнения определяется его характеристическим
уравнением:
Таким образом, характеристическое уравнение Н(Р) - это знаменатель
передаточной функции W(Р), приравненный к 0. Следовательно, устойчивость
исследуемой замкнутой САР определяется уравнением:
Все коэффициенты имеют одинаковые знаки, то первое условие критерия
Гурвица выполняется:
Поскольку все коэффициенты имеют одинаковые знаки, то первое условие
критерия Гурвица выполняется:
>0; a2>0; a1>0; a0>0;
Найдем
главный диагональный определитель для уравнения 3-го порядка, составленный из
коэффициентов уравнения, и его диагональные миноры.Поскольку
∆1>0 и ∆2>0 значит, выполняется второе условие критерия
Гурвица. Таким образом, можно сделать вывод, что исследуемая замкнутая САР
является устойчивой.
Критерий
Михайлова
САР устойчива, если при изменении частоты от 0 до ∞ годограф
вектора ее характеристического уравнения (годограф Михайлова) проходит
последовательно против часовой стрелки n квадрантов, не пропуская ни одного.
Уравнение годографа Михайлова находится из характеристического уравнения
заменой оператора P на оператор jω, т.е.:
.
Для исследуемой замкнутой САР:
Для исследуемой замкнутой САР:
Для
выполнения построений рассчитаем данные в таблице:
ω 0 <ω1< (0,3) ω *=
(0,79)<ω2<
(0.85)ω **=
(1)<ω3<
(1.3)∞
|
|
|
|
|
|
Re(ω)
|
2,5
|
2,14
|
0
|
-0,06
|
-1,5
|
-4,26
|
-∞
|
Jm(ω)
|
0
|
1,09
|
1,19
|
1,15
|
0
|
-3,59
|
-∞
|
Как видно из графика: при изменении частоты от 0 до ∞ годограф
вектора характеристического уравнения (годограф Михайлова) проходит
последовательно против часовой стрелки 3 квадранта, не пропуская ни одного,
следовательно, по частотному критерию Михайлова исследуемая замкнутая САР
устойчива.
Критерий
Найквиста
Исследуем замкнутую систему с помощью критерия Найквиста, который
позволяет судить об устойчивости только замкнутых систем по поведению
амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) разомкнутой системы.
Замкнутая
САР устойчива, если устойчива разомкнутая система и ее АФХ не охватывает точки
с координатами . АФХ разомкнутой САР - это годограф вектора
комплексной передаточной функции разомкнутой системы в комплексной плоскости
при изменении частоты от 0 до.
Комплексная
передаточная функция может быть получена из передаточной функции заменой
оператора p на:
.
Для исследуемой системы:
Для
исследуемой системы:
коэффициент разомкнутый система статический
Re(ω)
|
-0.75
|
-0.77
|
-0.79
|
-0.8
|
-0.89
|
-0.9
|
-0.79
|
0
|
Im(ω)
|
-2.5
|
-2.4
|
-2.35
|
-1.8
|
-1.2
|
-0.5
|
-0.3
|
0
|
График АФХ имеет следующий вид
Исследуемая замкнутая САР устойчива, т.к. АФХ не охватывает точку с
координатами .
. Построение
кривой переходного процесса в замкнутой системе по её математическому описанию
Для построения кривой переходного процесса на ЭВМ воспользуемся пакетом
«ТАУ». Подставим данные исследуемую системы в типовую схему и исследуем ее.
t
|
0
|
9,05
|
14,02
|
17,85
|
23,08
|
26,65
|
35,70
|
44,5
|
53,1
|
62
|
h(t)
|
0
|
1,59
|
1
|
0,64
|
1
|
1,21
|
0,86
|
1,07
|
0,95
|
1,02
|
Получим следующую кривую переходного процесса:
График кривой переходного процесса, в VisSim 3.0E
. Определение
основных показателей качества системы автоматического регулирования
По кривой переходного процесса определим показатели качества:
Время регулирования - время от момента нанесения возмущения до момента, при
котором
Максимальное перерегулирование определяется как наибольшее отклонение
регулируемой величины от установившегося значения, т.е.:
Для работоспособных систем .
Колебательность процесса определяется по формуле
Для работоспособных систем Ψ ≥ 75%.
Система неработоспособна в динамике, т.к. не отвечает требованиям.
Выводы
В результате выполнения курсовой работы «Анализ систем автоматического
регулирования» изучены принципы анализа САР. А именно: принципы преобразования
структурных схема САР, построение математических моделей САР, определение
передаточных функций и характеристических уравнений разомкнутой и замкнутой
систем. Получены знания по определению статизма и статического коэффициента
передачи разомкнутой системы, исследования замкнутой системы на устойчивость
при помощи критерия Гурвица, исследование замкнутой системы на устойчивость частотными
критериями Михайлова и Найквиста, построение кривой переходного процесса в
замкнутой системе по ее математическому описанию и определение основных
показателей качества системы автоматического регулирования.
На основании проведённых расчётов можно сказать, что данная система
неработоспособна в статике и неработоспособна в динамике.
Список
используемой литературы
1. Методические
указания и задания к курсовой работе (проекту)по курсу «Теория управления» для
студентов специальностей АТПМ и ВМКСС. С. И. Суркова, А.Р. Хабаров. ТГТУ.
Тверь. 2003.
. Интернет
ресурс: http://kpolyakov.narod.ru/uni/zaoch.htm