Составление схемы вала
Задание
Дано:
. Ступенчатый вал с зубчатыми
колесами І и ІІ передает постоянный момент.
. Максимальное значение окружного
усилия, действующего в зацеплении шестерни 1, Ft1=6 кН.
. Поперечные размеры вала d, мм: d1=40,
d2=50, d3=60, d4=50, d5=45.
. Длины участка вала l, мм: l1=40,
l2=110, l3=180, l4=75, l5=68.
. Радиусы закруглений (галтелей): r1/d1=0,05,
r2/d2=0,05, r4/d4=0,02, r5/d5=0,02.
. Диаметры зубчатых колес, мм: dw1=3,8·d2=3,8·50=190,
dw2=5,4·40=216.
. Направление усилий в зацеплении
зубчатых колес φ1=45°, φ2=60°.
. Характеристики прочности
материала: материал - углеродиста сталь, σв=560 МПа, σ-1=260 МПа, τт=200 МПа.
. Допускаемый угол закручивания [θ]=2° на метр длины.
. Угловая скорость вала ω=15 рад/с.
. Эквивалентные моменты инерции для
зубчатых колес: Jm1=60 кгм, Jm2=15 кгм.
. Поверхность вала - гладкая
полировка.
Требуется:
определить запас усталостной
прочности для наиболее опасного из указанных в заданных сечений;
провести проверку вала на жесткость;
рассмотреть крутильные колебания
вала и учесть их влияние на коэффициент запаса прочности по касательным
напряжениям.
Рис. 1. Исходные данные для расчета
1. Составление расчетной
схемы вала
Для косозубых колес в зубчатом
зацеплении возникает три составляющих усилия:
окружное Ft1=6,0
кН, Ft2=Ft1=6=5,28
кН,
радиальное Fr1=0,4·Ft1=
2,40 кН, Fr2=0,4·Ft2=2,11 кН,
осевое Fx1=0,25·Ft1=
1,5 кН, Fx2=0,25·Ft2= 1,32 кН.
Рис. 2. Расчетная схема вала
2. Приведение сил,
действующих на зубчатые колеса, к геометрической оси вала
1=Fx1=1,75 кН;
Y1=Ft1·cosφ1 - Fr1·sinφ1= 6·0,707 -
2,4·0,707 = 2,55 кН;1=Fr1·cosφ1+Ft1·sinφ1= 2,4·0,707 + 6·0,707 = 5,94 кН;
Mx1=Ft1·=6·=0,57
кНм; y1=Fx1··cosφ1=1,5··0,707=0,10
кНм; z1=Fx1··sinφ1=1,5··0,707=0,10
кНм; 2=Fx2=1,32
кН; 2=Ft2·sinφ2 - Fr2·cosφ2 = 3,51 кН; 2= Ft2·cosφ2+ Fr2·sinφ2 = 4,47 кН;x2=Ft2·=6·=0,57
кНм; y2=Fx2··sinφ2 = 0,12 кНм;
Mz2=Fx2··cosφ2
= 0,07 кНм.
3. Построение эпюр
внутренних силовых факторов
Эпюра растяжение-сжатие
Зубчатые колеса посажены
на вал с гарантированным натягом и закрепляются гайкой от осевого смещения под
действием осевой силы Fx.
Растягивающие усилия на
валу принимаем равными Fx'= 5Fx.
Нормальная сила на
участках вала будет:I=F'x2=6,6 кН (рассматриваем
равновесие левой отсеченной части вала);
II=F'x2+X2=6,6+1,32=7,92
кН;III=F'x2+X2 - F'x2=6,6+1,32-6,6=1,32
кН;VI=F'x1 =7,5 кН (рассматриваем равновесие правой
отсеченной части вала);V=F'x1+X1 = 7,5+1,5
=9,0 кН;IV=F'x1+X1 - F'x1 =
7,5+1,5-7,5 =1,5 кН.
По полученным значением
строим эпюру N.
Рис. 3. Эпюра N (кН).
Эпюра крутящих моментов (МК).
Крутящий момент на валу постоянен и
равен МК=MX1=MX2=0,57 кНм.
Рис. 4. Эпюра МК (кНм).
Прямой изгиб в плоскости xy
Рис. 5. Эпюра Qy, Mz.
Для построения эпюр Qy и
Mz определяем сначала реакции опор Аy и By.
отсюда кН,
отсюда
Проверяем:
Строим эпюры Qy
и Mz.
Прямой изгиб в плоскости
xz.
Для построения эпюр Qz
и My определяем сначала реакции опор Аy и By.
отсюда
Рис. 6. Эпюра Qz, My.
отсюда
Проверяем:
Строим эпюры Qy
и Mz.
4. Определение в
сечениях (1-1) … (6-6) продольной силы, результирующих изгибающих моментов и
учет основных факторов, влияющих на предел выносливости
материала при переменном изгибе.
Крутящий момент на валу
постоянный Мк=0,57 кНм.
кНм.
В сечении действуют
концентраторы в виде шпоночного паза и посадки с натягом зубчатого колеса на
вал. Кроме этого необходимо учесть масштабный фактор. Материал вала -
углеродистая сталь, поверхность вала - гладкая полировка.
Эффективные коэффициенты
концентрации составляют:
для концентратора в виде
шпоночного паза kσ= 1,86 [1, рис. 13], масштабный коэффициент εσ=0,9
[1, рис. 9], kσ/εσ=2,07;
для концентратора в виде
посадки с натягом kσ/εσ=3,0 [1, табл. 1].
Выбираем для дальнейших
расчетов их двух отношений большее kσ/εσ=3,0.
Сечение 2-2.=7,92 кН; Mz=
-0,02 кНм; My=0,153 кНм;
кНм.
В сечении действует
концентратор в виде галтели, kσ=
1+ζ(k0σ-1),
где k0σ=
1,8 [1, рис. 10], ζ= 0,8 [1, рис. 12]. Тогда kσ=
1+0,8 (1,8-1)=1,64.
Масштабный коэффициент εσ=0,87
[1, рис. 9],
эффективный коэффициент
концентрации kσ/εσ= 1,64/0,87 =1,88;
Сечение 3-3.=1,5 кН; Mz=
0,09 кНм; My=0,44 кНм;
кНм.
В сечении действует
концентратор в виде галтели, kσ=
1+ζ(k0σ-1),
где k0σ=
1,8 [1, рис. 10], ζ= 0,85 [1, рис. 12]. Тогда kσ=
1+0,85 (1,8-1)=1,68.
Масштабный коэффициент εσ=0,82
[1, рис. 9],
эффективный коэффициент
концентрации kσ/εσ= 1,68/0,82 =2,05;
Сечение 4-4.=9,0 кН; Mz=-0,17
кНм; My=0,609 кНм;
кНм.
В сечении действует
концентратор в виде галтели, kσ=
1+ζ(k0σ-1),
где k0σ=
2,3 [1, рис. 10], ζ= 0,8 [1, рис. 12]. Тогда kσ=
1+0,8 (2,3-1)=2,04.
Масштабный коэффициент εσ=0,82
[1, рис. 9],
эффективный коэффициент
концентрации kσ/εσ= 2,04/0,82 =2,49;
Сечение 5-5.
N=9,0 кН; Mz=-0,20
кНм; My=0,627 кНм;
кНм.
В сечении действуют
концентраторы в виде шпоночного паза и посадки с натягом зубчатого колеса на
вал. Кроме этого необходимо учесть масштабный фактор. Материал вала -
углеродистая сталь, поверхность вала - гладкая полировка.
Эффективные коэффициенты
концентрации составляют:
для концентратора в виде
шпоночного паза kσ= 1,86 [1, рис. 13], масштабный коэффициент εσ=0,9
[1, рис. 9], kσ/εσ=2,07;
для концентратора в виде
посадки с натягом kσ/εσ=3,26 [1, табл. 1].
Выбираем для дальнейших
расчетов их двух отношений большее kσ/εσ=3,26.
Сечение 6-6.=7,5; Mz=
-0,04 кНм; My=0,237 кНм;
кНм.
В сечении действует
концентратор в виде галтели, kσ=
1+ζ(k0σ-1),
где k0σ=
2,3 [1, рис. 10], ζ= 0,62 [1, рис. 12]. Тогда kσ=
1+0,62 (2,3-1)=1,81.
Масштабный коэффициент εσ=0,87
[1, рис. 9],
эффективный коэффициент
концентрации kσ/εσ= 1,81/0,87 =2,08;
Полученные значения
внутренних силовых факторов и коэффициентов kσ
и εσ сведем
в таблицу 1.
Таблица 1. Значения внутренних
силовых факторов и коэффициентов kσ и εσ
№ сечения
|
N,
кН
|
М, кНм
|
Мк, кНм
|
Тип концентратора
|
Эффективный коэффициент концентрации kσ
|
Масштабный коэффициент εσ
|
kσ/εσ
|
1
|
7,92
|
0,12
|
0,57
|
шпоночный паз
|
1,86
|
0,9
|
2,07
|
|
7,92
|
0,12
|
0,57
|
посадка с натягом
|
|
3,0
|
2
|
7,92
|
0,154
|
0,57
|
галтель
|
1,64
|
0,87
|
1,88
|
3
|
0,45
|
0,57
|
галтель
|
1,68
|
0,82
|
2,05
|
4
|
9,0
|
0,63
|
0,57
|
галтель
|
2,04
|
0,82
|
2,49
|
5
|
9,0
|
0,66
|
0,57
|
шпоночный паз
|
1,86
|
0,9
|
2,07
|
|
9,0
|
0,66
|
0,57
|
посадка с натягом
|
|
3,26
|
6
|
7,5
|
0,24
|
0,57
|
галтель
|
1,81
|
0,87
|
2,08
|
5. Определение запаса
усталостной прочности вала
Проверочный расчет валов состоит в
определении коэффициентов запаса прочности n по формуле Гафа и Полларда.
,
где и
-
коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям.
Коэффициенты запаса
прочности по нормальным напряжениям (определяем по формуле:
;
где σ-1=2,6·108
Па - предел выносливости для симметричного цикла;
σв=5,6·108
Па - временное сопротивление материала на растяжение;
εn -
коэффициент, учитывающий состояние поверхности (для полированного вала εn=1);
σа=M/W=32M/πd3 -
амплитуда цикла;
σm=N/F=4N/πd2 -
среднее напряжение цикла;
Коэффициент запаса прочности по
касательным напряжениям определяем по пределу текучести как:
nT=τT/τm*,
где τm* = Мк/Wp= 16Мк/πd3;
τT = 200 МПа - предел текучести.
При определении касательных
напряжений учитываем возникновение местных напряжений в сечениях 1-1…6-6.
Вследствие этого значения τm, увеличиваем на
величину коэффициента kt, значения которого для сечений, в которых концентраторы -
шпоночные канавки - берем из табл. 5.1 [1]; для сечений, концентраторы в
которых - галтели - выбираем по рис. 14 [1] для заданных отношений r/d.
τm= τm* · kt, nT=τT/τm.
Полученные значения
коэффициентов запаса ,
и
n для заданных сечений сводим в таблицу 2.
Таблица 2. Значения коэффициентов
запаса nσ, nτ и n для заданных сечений
Из приведенных в таблице
значений видно, что наиболее опасным сечением является сечение 5, где
коэффициент запаса усталостной прочности наименьший и равняется n=1,37.
6. Проверка жесткости
вала
Условие жесткости вала:
,
где -
допускаемый угол закручивания,
- относительный угол
закручивания.
Принимаем =2°/м.
Полный угол закручивания:
,
где Jp= πd4
/32 - полярный момент инерции поперечного сечения;
li
- длина i-го участка вала.
Таблица 3. Значения Jp, li
Таким образом,
5,48·10-3
рад,
φ
= 5,48·10-3·180/π =0,31°.
Полная длина вала
L=47,25 см, поэтому относительный угол закручивания на метр длины вала Θ=0,31·100/47,25=0,665° ≤
[Θ]. Условие жесткости обеспечено.
7. Расчет крутильных
колебаний
Коэффициент податливости рассчитаем
как
,
9,6·10-6.
Круговая частота колебаний
рад/с.
частота колебаний
Гц.
Максимальное значение
угла взаимного поворота колес при крутильных колебаниях:
рад.
С учетом колебаний угол
закручивания вала равен:
рад.
Касательные напряжения с
учетом крутильных колебаний:
.
В наиболее нагруженном
сечении вала 5-5 τm
max=53,44 МПа
МПа.
Определяем коэффициент
запаса прочности по касательным напряжениям с учетом крутильных колебаний вала:
.
Ранее коэффициент запаса
прочности по касательным напряжениям составлял . Таким образом, учет
крутильных колебаний приведет к снижению коэффициента запаса прочности на
%.
Список литературы
вал зубчатый прочность ось
1. Методические указания к курсовой работе.
2. А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин. Сопротивление
материалов. М., Изд. ФИЗМАЛИТ, 2002 г.
. А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин.
Сопротивление материалов. М., В.Ш., 2003 г.