3. Общий доход, который получат трамваи завтра:
X=+++…+
Т.е.
X можно
представить в виде суммы большого числа слагаемых. В силу центральной
предельной теоремы мы можем ожидать, что закон распределения X
близок к нормальному.
Пусть
с - доход, который будет получен трамвайным парком в очередные сутки.
Событие
является желательным событием. Найдем его
вероятность.
Нам
известно, что вероятность того, что X
не превысит величины с,
согласно нормальному закону распределения, зависит от с следующим образом:
где
m=M(X) -
математическое ожидание X, =D(Х) - дисперсия, а -
стандартное отклонение X. Эти константы можно оценить, используя формулы:
(млн.руб)
Следует
отметить, что оценки и зависят
от данных наблюдений, которые зависят от случая, когда m и от случая не зависят.
Зная
оценки и , можно
приближенно ответить на вопрос: «Какой доход (величина с) получит
трамвайный парк в очередной день, т.е. чтобы вероятность события была достаточно велика, например, равна ?» Величину с найдем из уравнения:
.
Сделаем
подстановку , тогда:
, ; при , ; при , .
Получим
уравнение:
.
Выберем
вероятность равной 0,95 (т.е. чтобы получить практический
максимум суточного дохода трамвайного парка) и решим уравнение с помощью
таблицы значений нормальной функции распределения. Получим:
; (млн.руб)
Таким
образом, мы получили, что в очередные сутки практическим максимумом суточного
дохода трамвайного парка будет являться 13,0132 млн. руб. Ответим на вопрос: «В
каких пределах практически будет находиться доход трамвайного парка в очередные
сутки?»
Общая
формула:
, где
функция
Лапласа, а a и
b -
концевые точки.
Пусть
a и
b расположены
симметрично относительно m: a=m-s*; b= m+s*. Тогда:
,
т.к.
функция нечетная. По таблицам найдем, что если s=1,96, то .
Таким
образом, нам известно, что с вероятностью 0,95 Х будет находиться в
пределах .
Т.е.
доход трамвайного парка будет практически находиться в пределах от 12,262 до
13,077 млн. руб.
Как
уже отмечалось, оценки и зависят
от случая, в то время как m и
от случая не зависят. О местоположении этих констант
на числовой оси дают представление доверительные интервалы, т.е. такие
интервалы, для которых до проведения наблюдений известна вероятность того, что
они в итоге наблюдений накроют константу.
В
нашем случае концевые точки доверительного интервала для m находятся
по формулам: , , где
,
а
коэффициент зависит от устраивающей нас вероятности накрывания
интервалом константы m:
.
можно
найти из таблицы: при =0,95 и k=5(где k=(n-1)
- число степеней свободы) =2,57.
Доверительный
интервал для m: (12,45;
12,89) с вероятностью покрытия 0,95.
Концевые
точки доверительного интервала для находятся
по формулам:
, .
Вероятность
того, что такой интервал накроет ,
обозначим:
(1-α)/2=0,1 - погрешность слева; (1+α)/2=0,6 - погрешность справа, k=n-1=5
- число степеней свободы.
Значит
=1,610; =9,24.
Интервал:
(0,113; 0,646) - доверительный интервал для дисперсии с вероятностью покрытия
0,8.
Задание 2
Условие
В продолжение задания 1. Существенно ли изменились условия проведения
опыта, если очередная серия наблюдений привела к следующим данным? Поставить
этот вопрос на языке теории вероятностей и получить ответ.
,84; 12,50; 11,70; 11,72; 11,81; 11,78; 11,70.
Решение
Новые
суточные доходы трамвайного парка: п2=7.
Перед
нами стоит вопрос: «Существенно ли изменились условия проведения опыта, если
очередная серия наблюдений привела к следующим данным, т.е. изменились ли
математическое ожидание и дисперсия в новой серии наблюдений?»
Предполагается,
что над случайной величиной X проведены независимых
испытаний, а над Y - независимых
испытаний.
Пусть
случайные величины X и Y независимы и каждая подчиняется одному и тому же
нормальному закону распределения.
Нормальный
закон распределения определяется функцией распределения или плотностью
вероятностей, которые зависят только от двух констант - m и . Пусть дисперсии X и Y
одинаковы. Тогда если математические ожидания X и Y
одинаковы, то условия проведения опыта полностью совпадают.
Найдем
оценки и :
(млн.руб);
(млн.руб).
Если
действовать согласно интуиции, то можно прийти к такому выводу: если в
результате наблюдений случайная величина примет
значение, сильно отличающееся от нуля, то следует, что математические ожидания X
и Y неодинаковы. Но как понять, что значит «сильно
отличаться от нуля», а что - «не сильно»? Для этого нам необходимо найти
границу.
Рассмотрим
случайную величину:
Возьмем
какое-либо число , которое назовем пороговым числом, т.е. границей
между значениями t, достаточно сильно отличающимися от 0 и не сильно.
Тогда:
) если
| t |>, то
проверяемая гипотеза отвергается;
) если
| t |, то
отвергать гипотезу не будем.
Но данные наблюдений всегда зависят от случая, поэтому мы можем
отвергнуть справедливую гипотезу и допустить ошибку. Выберем устраивающую нас
достаточно малую вероятность такой ошибки β.
..
Пусть
β=0,05.
Нужно использовать таблицу для
погрешностей, но т.к. ее нет, найдем φ=1- β=0,95.
По
таблицам Стьюдента =2,20.
Сравним
t и : | 5,4
|>2,20 гипотеза отвергается, и M(X)M(Y).
Таким
образом, с вероятностью ошибки 0,05 можно считать, что условия проведения опыта
существенно изменились.
Задание 3
Условие
В продолжение задания 1. Можно ли утверждать, что указанные в задании 1
данные говорят о существенном изменении условий проведения опыта, если
известно, что для проведения этих наблюдений математическое ожидание
рассматривающейся случайной величины составляло 12,42?
Решение
У нас имеется случайная величина X, закон распределения которой близок к нормальному
закону. Нам нужно ответить на вопрос: «Справедливо ли, что математическое
ожидание X равно заданной константе m, где m=12,42?» Если
нет, то условия проведения нашего опыта существенно изменились. Предполагается,
что над случайной величиной проведены n независимых испытаний.
Введем оценку математического ожидания для X:
Интуитивно
мы можем сделать вывод по такому правилу: если после наблюдений случайная
величина примет значение, сильно отличающееся от нуля, то
условия проведения опыта существенно изменились. Но, опять же, нужно найти
данную границу. Рассмотрим случайную величину:
.
Если
| t |, то
условия проведения опыта существенно не изменились, если | t
|>, то условия изменились. Но, как и в задаче 2, это
может привести к ошибке. Выберем малую вероятность такой ошибки: β=0,05.
.
С
помощью таблицы Стьюдента найдем : =2,57.
Сравним
t и : | 2,9
|>2,57 М(Х) m.
Таким
образом, условия проведения опыта существенно изменились с вероятностью ошибки
0,05.
Литература
математическое ожидание дисперсия
1. Рудерман
С.Ю. Законы в мире случая. Том 1. Уфа, 2005
2. Рудерман
С.Ю. Законы в мире случая. Том 2. Уфа: РИО БашГУ, 2005
. Вентцель
Е.С. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 1999
. Кремер
Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002