Обробка результатів прямих багатократних рівно точних статистичних вимірювань
Обробка результатів
прямих багатократних рівно точних статистичних вимірювань
Хід роботи
I.
Схема вимірювань та
початкові дані.
1)
Схема вимірювань:
2)
Початкові дані:
–
номінальне значення частоти
генератора – 270 Гц;
–
точність установки частоти
генератора – ± 1,5%;
–
початковий статистичний ряд:
Табл.
1
Номер вимірювання
|
Значення частоти, Гц
|
Номер вимірювання
|
Значення частоти, Гц
|
1
|
269,508
|
24
|
269,597
|
2
|
269,441
|
25
|
269,550
|
3
|
269,627
|
26
|
269,517
|
4
|
269,442
|
27
|
269,417
|
5
|
269,520
|
28
|
269,442
|
6
|
269,604
|
29
|
269,476
|
7
|
269,627
|
30
|
269,535
|
8
|
269,522
|
31
|
269,521
|
9
|
269,476
|
32
|
269,623
|
10
|
269,451
|
33
|
269,583
|
11
|
269,515
|
34
|
269,457
|
12
|
269,439
|
35
|
269,441
|
13
|
269,509
|
36
|
269,487
|
14
|
269,508
|
37
|
269,516
|
15
|
269,508
|
38
|
269,528
|
16
|
269,526
|
39
|
269,499
|
17
|
269,572
|
40
|
269,453
|
18
|
269,523
|
41
|
269,518
|
19
|
269,580
|
42
|
269,556
|
20
|
269,511
|
43
|
269,543
|
21
|
269,520
|
44
|
269,445
|
22
|
269,528
|
45
|
269,536
|
23
|
269,588
|
|
II.
Обчислення оцінок основних
статистичних характеристик.
Найчастіше
на практиці описують оцінки таких характеристик:
1)
оцінка середнього значення Ā:
Гц
Ā
– характеризує найбільш очікуване значення фізичної величини.
2) оцінка середнього
квадратичного відхилення результатів вимірювання від середнього значення:
Гц
S –
міра розсіювання (розкиду) результатів вимірювань від середнього значення.
3) оцінка дисперсії
розсіювання результатів вимірювань:
Гц2
4) оцінка коефіцієнта
асиметрії:
A –
характеризує несиметричність розподілу результатів вимірювань відносно
середнього значення.
5) оцінка коефіцієнта
асиметрії:
E –
характеризує плосковершинність кривої розподілу.
Всі
обчислення подаємо у вигляді таблиці:
Табл.
2
Номер вимірювання
|
ai
|
(ai – Ā)
|
(ai – Ā)²
|
(ai – Ā)³
|
(ai – Ā)
|
1
|
269,508
|
-0,009
|
0,000081
|
-0,000000729
|
0,000000007
|
2
|
269,441
|
-0,076
|
0,005776
|
-0,000438976
|
0,000033362
|
3
|
269,627
|
0,110
|
0,012100
|
0,001331000
|
0,000146410
|
4
|
269,442
|
-0,075
|
0,005625
|
-0,000421875
|
0,000031641
|
5
|
269,520
|
0,003
|
0,000009
|
0,000000027
|
0,000000000
|
6
|
269,604
|
0,087
|
0,007569
|
0,000658503
|
0,000057290
|
7
|
269,627
|
0,110
|
0,012100
|
0,001331000
|
0,000146410
|
8
|
269,522
|
0,005
|
0,000025
|
0,000000125
|
0,000000001
|
9
|
269,476
|
-0,041
|
0,001681
|
-0,000068921
|
0,000002826
|
10
|
269,451
|
-0,066
|
0,004356
|
-0,000287496
|
0,000018975
|
11
|
269,515
|
-0,002
|
0,000004
|
-0,000000008
|
0,000000000
|
12
|
269,439
|
-0,078
|
0,006084
|
-0,000474552
|
0,000037015
|
13
|
269,509
|
-0,008
|
0,000064
|
-0,000000512
|
0,000000004
|
14
|
269,508
|
-0,009
|
0,000081
|
-0,000000729
|
0,000000007
|
15
|
269,508
|
-0,009
|
0,000081
|
-0,000000729
|
0,000000007
|
16
|
269,526
|
0,009
|
0,000081
|
0,000000729
|
0,000000007
|
17
|
269,572
|
0,055
|
0,003025
|
0,000166375
|
0,000009151
|
18
|
269,523
|
0,006
|
0,000036
|
0,000000216
|
0,000000001
|
19
|
269,580
|
0,063
|
0,003969
|
0,000250047
|
0,000015753
|
20
|
269,511
|
-0,006
|
0,000036
|
-0,000000216
|
0,000000001
|
21
|
269,520
|
0,003
|
0,000009
|
0,000000027
|
0,000000000
|
22
|
269,528
|
0,011
|
0,000121
|
0,000001331
|
0,000000015
|
23
|
269,588
|
0,071
|
0,005041
|
0,000357911
|
0,000025412
|
24
|
269,597
|
0,080
|
0,006400
|
0,000512000
|
0,000040960
|
25
|
269,550
|
0,033
|
0,001089
|
0,000035937
|
0,000001186
|
26
|
269,517
|
0,000
|
0,000000
|
0,000000000
|
0,000000000
|
27
|
269,417
|
-0,100
|
0,010000
|
-0,001000000
|
0,000100000
|
28
|
269,442
|
-0,075
|
0,005625
|
-0,000421875
|
0,000031641
|
29
|
269,476
|
-0,041
|
0,001681
|
-0,000068921
|
0,000002826
|
30
|
269,535
|
0,018
|
0,000324
|
0,000005832
|
0,000000105
|
31
|
269,521
|
0,004
|
0,000016
|
0,000000064
|
0,000000000
|
32
|
269,623
|
0,106
|
0,011236
|
0,001191016
|
0,000126248
|
33
|
269,583
|
0,066
|
0,004356
|
0,000287496
|
0,000018975
|
34
|
269,457
|
-0,060
|
0,003600
|
-0,000216000
|
0,000012960
|
35
|
269,441
|
-0,076
|
0,005776
|
-0,000438976
|
0,000033362
|
36
|
269,487
|
-0,030
|
0,000900
|
-0,000027000
|
0,000000810
|
37
|
269,516
|
-0,001
|
0,000001
|
-0,000000001
|
0,000000000
|
269,528
|
0,011
|
0,000121
|
0,000001331
|
0,000000015
|
39
|
269,499
|
-0,018
|
0,000324
|
-0,000005832
|
0,000000105
|
40
|
269,453
|
-0,064
|
0,004096
|
-0,000262144
|
0,000016777
|
41
|
269,518
|
0,001
|
0,000001
|
0,000000001
|
0,000000000
|
42
|
269,556
|
0,039
|
0,001521
|
0,000059319
|
0,000002313
|
43
|
269,543
|
0,026
|
0,000676
|
0,000017576
|
0,000000457
|
44
|
269,445
|
-0,072
|
0,005184
|
-0,000373248
|
0,000026874
|
45
|
269,536
|
0,019
|
0,000361
|
0,000006859
|
0,000000130
|
На
практиці оцінюється значущість коефіцієнтів вимірювань.
Для
цього обчислюємо дисперсії коефіцієнтів A і E:
,
Якщо
виконується умова, що
і ,
то
робиться висновок, що коефіцієнти незначущі, а значить ними можна знехтувати. В
протилежному випадку коефіцієнти є значущі, а значить вони повинні бути
враховані при виборі математичної моделі для опису розподілу результатів
вимірювань.
Висновок: для нормального закону розподілу результатів вимірювань коефіцієнти
A і E рівні нулю, тому якщо на практиці ми отримали А0 і Е0 або ними
можна знехтувати, то з великою достовірністю можна говорити, що наші результати
розподіляються за нормальним законом. В нашому випадку А і Е не дорівнюють
нулю, тому, що ми маємо дуже мало вимірювань проте вони є незначущі (0,2271,049 і 0,7173,277), а
значить ними можна знехтувати. Звідси слідує, що дійсно наші результати
розподіляються за нормальним законом розподілу.
Грубі похибки та промахи повинні бути виявленні і відкинуті з
результатів вимірювань. З цією метою використовується спеціальний статистичний
критерій – критерій Стьюдента.
В роботі використовуємо критерій – правило трьох у.
Початковий статистичний ряд представимо у вигляді такого графіка:
статистичний коефіцієнт
середній стьюдент
На графік наносимо середнє значення і межі (границі):
–
верхню Ā+3S;
–
нижню Ā-3S.
Висновок:
грубих похибок і промахів не виявлено; початковий ряд є однорідним; приведемо
його характеристики: n=45, Ā=269.517 Гц, S=0.055 Гц
Додатково
перевіримо наявність грубих похибок використовуючи коефіцієнти Стьюдента. Для
цього знаходимо на графіку максимальне і мінімальне значення і обчислюємо
квантиль t1 і t2:
Для
n = 45 при p = 0.98 tдоп. = 2,4
t1
tдоп., t2 tдоп.
За
допомогою коефіцієнтів Стьюдента ми ще раз підтвердили, що грубі похибки і
промахи відсутні, статистичний ряд є однорідним.
Експериментальний розподіл отримують у вигляді гістограми.
Порядок побудови гістограми:
1)
однорідний ряд розміщуємо в
порядку зростання;
2)
обчислюємо розмах значень:
;
3)
відрізок розділяємо на рівних інтервалів:
;
4)
обчислюємо ширину інтервалу
гістограми:
;
5)
обчислюємо межі кожного
інтервалу, результати записуємо у таблицю 3.
Табл.
3
Номер вимірювання
|
Межі інтервалів
|
nj
|
pj
|
1
|
269,417 ч 269,447
|
7
|
0.155556
|
2
|
269,447 ч 269,477
|
5
|
0.111111
|
3
|
269,477 ч 269,507
|
2
|
0.044444
|
4
|
269,507 ч 269,537
|
19
|
0.422222
|
5
|
269,537 ч 269,567
|
3
|
0.066667
|
6
|
269,567 ч 269,597
|
5
|
0.111111
|
7
|
269,597 ч 269,627
|
4
|
0.088889
|
6)
підраховуємо число попадання
результатів вимірювань в кожен інтервал nj;
7)
обчислюємо імовірності
попадань результатів вимірювань в кожен інтервал ;
8)
будуємо гістограму:
Для цього на кожному інтервалі будуємо прямокутник площа якого
дорівнює pj.
Гістограма – це експериментальний аналог густини розподілу.
Крім гістограми є ще інші варіанти представлення експериментальних
розподілів:
–
у вигляді полігону
розподілу;
–
у вигляді функції
накопичених частот.
Вибір
математичної моделі проводиться з урахуванням:
–
вигляду гістограми;
–
факту, що в більшості
випадків математичною моделлю виступає функція Гауса (нормальний закон
розподілу).
Враховуючи
сказане і вигляд гістограми вибір математичної моделі розпочинаємо з функції
Гауса:
.
На
практиці використовують нормований варіант задання нормального закону
розподілу.
Умови
нормування:
-
m = 0;
-
у = 1.
Після нормування функція Гауса має такий вигляд:
Гістограму
також треба представити у нормованому вигляді. Тобто і .
Номер інтервалу
|
Нормовані межі
інтервалів
|
Експериментальні
імовірності (рj)
|
Теоретичні
імовірності (pj*)
|
1
|
-1,818 ч -1,273
|
0.15556
|
0,067
|
2
|
-1,273 ч -0,727
|
0.11111
|
0,132
|
3
|
-0,727 ч -0,182
|
0.04444
|
0,194
|
4
|
-0,182 ч 0,364
|
0.42222
|
0,214
|
5
|
0,364 ч 0,909
|
0.06667
|
0,176
|
6
|
0,909 ч 1,445
|
0.11111
|
0,109
|
7
|
1,445 ч 2
|
0.08889
|
0,05
|
,
Для вирішення цієї задачі використаємо критерій, який так і
називається, критерій узгодженості.
Серед них найчастіше використовуються:
-
критерій Пірсона (критерій ч2);
-
критерій Колмогорова;
-
критерій щ2
та інші.
В
роботі використовуємо критерій Пірсона.
pj
|
pj*
|
(pjpj*)
|
(pjpj*)2
|
(pjpj*)2/
pj*
|
0.15556
|
0.067
|
0.089
|
0.00792
|
0.118
|
0.11111
|
0.132
|
-0.021
|
0.00044
|
0.003
|
0.04444
|
0.194
|
-0.150
|
0.0225
|
0.116
|
0.42222
|
0.214
|
0.208
|
0.04326
|
0.202
|
0.06667
|
0.176
|
-0.109
|
0.01188
|
0.068
|
0.11111
|
0.109
|
0.002
|
0.000004
|
0.00004
|
0.08889
|
0.050
|
0.039
|
0.00152
|
0.03
|
|
|
|
|
∑ =
0.537
|
Величина
служить мірою розбіжності
експериментального розподілу і вибраної математичної моделі.
Вибираємо
довірчу імовірність .
Обчислюємо
рівень значимості .
Обчислюємо
число вільності , де k – кількість інтервалів
гістограми .
За
цими даними із таблиці розподілу Пірсона .
Висновок: математична модель (функція Гауса) не описує експериментальний
розподіл, потрібно вибрати наступну математичну модель, наприклад, якщо
експериментальний розподіл є симетричним трикутноподібну, або іншу.