Интеграл дифференциального уравнения
АНО ВПО «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ
ЕКАТЕРИНЫ ВЕЛИКОЙ»
Контрольное задание
По дисциплине: «Математика»
Москва 2010 г.
Контрольное
задание:
Упражнения
1.
Дана последовательность аn=(3n-5)/(4n+1). Установить
номер n0, начиная с которого выполняется
неравенство │аn-А │ < 1/500.
Отв. n0=719.
Найти:
2. lim (3-√х)/(х2-81).Отв.
–1/108.
х→9
3. lim (5х2-8)/(х3-3х2+11).Отв.
0.
х→∞
Проверить
непрерывность следующих функций:
4.
у=5х/(х3+8).Отв. При всех х≠–2 функция непрерывна.
5.
у=(х2+4)/ √(х2-36). Отв. Функция непрерывна
при всех значениях
│х│>6.
6.
Определить точки разрыва функции у=(8х+2)/(16х2-1).
Отв. Точки х1=–1/4
и х2=1/4.
Задача 1
Найти общий интеграл
дифференциального уравнения:
Решение
Выполним разделение
переменных, для этого разделим обе части уравнения на :
Проинтегрируем обе части
уравнения и выполним преобразования:
Ответ
Задача 2
Проинтегрировать
однородное дифференциальное уравнение:
Решение
Решение однородных
дифференциальных уравнений осуществляется при помощи подстановки:
,
С учетом этого, исходное
уравнение примет вид:
Выполним разделение
переменных, для этого умножим обе части уравнения на , получим,
Проинтегрируем обе части
уравнения и выполним преобразования:
Возвращаясь к переменной y, получим общий интеграл исходного
уравнения:
Ответ
Задача 3
Найти общий интеграл
дифференциального уравнения:
Решение
Покажем, что данное
уравнение является однородным, т.е. может быть представлено в виде, . Преобразуем правую часть
уравнения:
Следовательно, данное
уравнение является однородным и для его решения будем использовать подстановку,
С учетом этого, уравнение
примет вид:
Выполним разделение
переменных, для этого умножим обе части уравнения на ,
Проинтегрируем обе части
уравнения,
Возвращаясь к переменной y, получим,
Ответ
Задача 4
Решить линейное
дифференциальное уравнение:
Решение
Составим
характеристическое уравнение и найдем его корни:
Ответ
Задача 5
Найти общее решение
дифференциального уравнения:
Решение
Общее решение
неоднородного уравнения будем искать в виде:
,
где – частное решение исходного
неоднородного ДУ, –
общее решение соответствующего однородного уравнения:
Составим
характеристическое уравнение и найдем его корни:
Так как корни
характеристического уравнения действительные и совпадают, то общее решение
однородного ДУ будет иметь вид:
Учитывая, что правая
часть имеет специальный вид, то частное решение неоднородного уравнения будем
искать в виде,
,
где A, B, C
– неопределенные коэффициенты. Найдем первую и вторую производные по x от и подставим полученные результаты в исходное
уравнение:
Приравняем коэффициенты
при соответствующих степенях x
и определим их:
Следовательно, частное
решение неоднородного ДУ примет вид:
Окончательно, общее
решение исходного ДУ:
Ответ
Задача 6
Решить уравнение:
Решение
Общее решение
неоднородного уравнения будем искать в виде:
,
где – частное решение исходного
неоднородного ДУ, –
общее решение соответствующего однородного уравнения:
Составим
характеристическое уравнение и найдем его корни:
Так как корни характеристического
уравнения действительные и различны, то общее решение однородного ДУ будет
иметь вид:
Учитывая, что правая
часть имеет специальный вид, то частное решение неоднородного уравнения будем
искать в виде,
,
где A, B, C
– неопределенные коэффициенты. Найдем первую и вторую производные по x от и подставим полученные результаты в исходное
уравнение:
Приравняем коэффициенты
при соответствующих степенях x
и определим их:
Следовательно, частное
решение неоднородного ДУ примет вид:
Окончательно, общее
решение исходного ДУ:
Ответ
Комментарии к решению
В задаче №1, опечатка в
предполагаемом ответе, упущен показатель степени при x.
В задаче №3, ответ
следует оставить в виде, содержащем модуль , т.к. нет достаточных оснований его снять.