5
|
Время
|
Показания
счетчика кВт * час
|
Потребление
кВт * час
|
5:00
|
30157,52
|
|
6:00
|
30157,55
|
0,03
|
7:00
|
30158,01
|
0,46
|
8:00
|
30158,15
|
0,14
|
9:00
|
30158,67
|
0,52
|
10:00
|
30159,59
|
0,92
|
11:00
|
30160,79
|
1,20
|
12:00
|
30161,20
|
0,41
|
13:00
|
30161,40
|
0,20
|
14:00
|
30161,77
|
0,37
|
15:00
|
30162,23
|
0,46
|
16:00
|
30162,57
|
0,34
|
17:00
|
30162,79
|
0,22
|
18:00
|
30163,41
|
0,62
|
19:00
|
30163,97
|
0,56
|
20:00
|
30164,70
|
0,73
|
21:00
|
30165,55
|
0,85
|
22:00
|
30165,98
|
0,43
|
23:00
|
30166,28
|
0,30
|
ПЕРВИЧНАЯ
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ
1. Точечный вариационный ряд.
Распределение xi по
частотам ni.
xi
|
0
|
0,02
|
0,03
|
0,05
|
0,06
|
0,07
|
0,08
|
0,09
|
0,1
|
0,12
|
0,14
|
0,15
|
0,16
|
0,17
|
ni
|
0
|
1
|
1
|
1
|
2
|
1
|
3
|
1
|
2
|
2
|
1
|
1
|
2
|
2
|
0,18
|
0,2
|
0,21
|
0,22
|
0,23
|
0,25
|
0,26
|
0,27
|
0,3
|
0,31
|
0,32
|
0,33
|
0,34
|
0,37
|
1
|
1
|
3
|
1
|
2
|
1
|
1
|
1
|
1
|
3
|
1
|
2
|
1
|
3
|
4
|
0,38
|
0,39
|
0,4
|
0,41
|
0,42
|
0,43
|
0,45
|
0,46
|
0,47
|
0,49
|
0,51
|
0,52
|
0,53
|
0,54
|
0,55
|
2
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
1
|
1
|
1
|
4
|
1
|
1
|
2
|
0,56
|
0,62
|
0,63
|
0,67
|
0,68
|
0,7
|
0,73
|
0,75
|
0,85
|
0,92
|
1,05
|
1,2
|
1,33
|
1,35
|
1,57
|
2
|
4
|
2
|
1
|
1
|
1
|
2
|
1
|
2
|
2
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Переход к группированным выборочным
данным.
xmin = 0,02 xmax = 1,57. Диапазон [xmin ; xmax] разбиваем на k равных интервалов. Воспользуемся
формулой k = log 2 n + 1. k = 7.
Вариационный размах R = xmax - xmin = 1,55. Длина интервала h = R / k =
0,221.
Интервальный ряд
Ci – C i+1
|
0,02 – 0,241
|
0,241 – 0,463
|
0,463 – 0,684
|
0,684 – 0,906
|
0,906 – 1,127
|
1,127 – 1,349
|
1,349– 1,570
|
n*i
|
29
|
27
|
21
|
6
|
3
|
2
|
2
|
Равноточечный ряд по частотам
x*i
|
0,131
|
0,352
|
0,574
|
0,795
|
1,016
|
1,238
|
1,459
|
n*i
|
29
|
27
|
21
|
6
|
3
|
2
|
2
|
Равноточечный ряд по
относительным частотам ;
x*i
|
0,131
|
0,352
|
0,574
|
0,795
|
1,016
|
1,238
|
1,459
|
w i
|
29/90
|
27 / 90
|
21 / 90
|
6 / 90
|
3 / 90
|
2 / 90
|
2 / 90
|
w i
|
0,3222
|
0,3000
|
0,2333
|
0,0667
|
0,0333
|
0,0222
|
0,0222
|
Равноточечный ряд по
накопительным частотам
x*i
|
0,131
|
0,352
|
0,574
|
0,795
|
1,016
|
1,238
|
1,459
|
m*i
|
29
|
56
|
77
|
83
|
86
|
88
|
90
|
ГРАФИКИ
3. Построение
эмпирической функции распределения
F* = nx / n , где nx
– число элементов выборки (объема n), меньших, чем x.
x*i
|
0,130714
|
0,352143
|
0,573571
|
0,795
|
1,016429
|
1,237857
|
1,459286
|
F*
|
0,322222
|
0,622222
|
0,855556
|
0,922222
|
0,955556
|
0,977778
|
1
|
4. Числовые характеристики выборки по ряду
x*i
|
0,131
|
0,352
|
0,574
|
0,795
|
1,016
|
1,238
|
1,459
|
n*i
|
29
|
27
|
21
|
6
|
3
|
2
|
2
|
а) Выборочные среднее и дисперсия
< xв
> = (1 / n) ´ å( xi ´ ni ) = 0,43
Dв
= (1 / n) ´ å( xi - < xв >)2 ´ ni = 0,0955 sn = 0,309 = Dв2
б) Мода – значение, которое чаще всего встречается в
данном вариационном ряду.
xmod = 0,370
в) Медиана – средневероятное значение.
xmed = 0,385
г) Асимметрия
1,297
д) Эксцесс
2,338
5. Оценка близости выборочных наблюдений к
нормальному закону
Положительная асимметрия говорит о том, что «длинная
часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания, а
положительный эксцесс – о том, что кривая распределения имеет более высокую и
острую вершину, чем кривая нормального распределения.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
1. Несмещенная оценка математического ожидания –
выборочное среднее.
_
M X = x = 0,4284
Несмещенная дисперсия – исправленная выборочная
дисперсия.
0,096541
2. Построение доверительных интервалов для матожидания
и дисперсии при неизвестных параметрах нормального закона с доверительной
вероятностью, равной γ = 0,95 и 0,99.
а) γ=0,95 n
= 90
МХ
=1,987
0,3633 < MX <
0,4953
Дисперсия
α=1-γ=0,05;
64,793
116,989
0,073< < 0,133
б) γ=0,99 n = 90
МХ
=2,633
0,3420 < MX < 0,515
Дисперсия
α=1-γ=0,01;
116,989
0,068
< < 0,147
3. Используя таблицу
случайных чисел получить 50 равномерно распределенных чисел из интервала (0;
10) X~R(a,b)
|
|
|
Вариационный ряд
|
1
|
2
|
Xi
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
2
|
2
|
ni
|
6
|
11
|
7
|
5
|
4
|
3
|
2
|
8
|
4
|
2
|
5
|
|
|
4
|
6
|
|
|
1
|
5
|
|
|
2
|
1
|
|
|
5
|
2
|
|
|
2
|
8
|
|
|
3
|
3
|
|
|
8
|
1
|
|
|
8
|
3
|
|
|
8
|
9
|
|
|
1
|
4
|
|
|
2
|
9
|
|
|
4
|
6
|
|
|
9
|
3
|
|
|
5
|
9
|
|
|
2
|
3
|
|
|
4
|
7
|
|
|
3
|
2
|
|
|
6
|
8
|
|
|
1
|
2
|
|
|
8
|
3
|
|
7
|
8
|
|
|
8
|
4
|
|
|
Интервальный ряд
Ci-Ci+1
|
0-2
|
2-4
|
4-6
|
6-8
|
8-10
|
ni*
|
17
|
12
|
7
|
10
|
4
|
Точечный ряд
xi*
|
1
|
3
|
5
|
7
|
9
|
ni*
|
17
|
12
|
7
|
10
|
4
|
xi*ni*
|
17
|
36
|
35
|
70
|
36
|
(xi*)2ni*
|
17
|
108
|
175
|
490
|
324
|
Методом моментов найдем оценки неизвестных параметров равномерного
распределения:
Метод моментов заключается в приравнивании определенного числа
выборочных моментов к соответствующим теоретическим моментам.
X~R(a,b)
f(x) = 1 / (b - a), если x
Î [a; b]
f(x) = 0 , в противном случае
Þ ,а
Получим систему уравнений
b=7,76-a
a2+a(7.76-a)+60.2176-15.52a+a2=66.84
a2+7.76a-a2-15.52a+a2-6.6224=0
a2-7.76a-6.6224=0
D=60.2176-26.4896»33.728
Возможна пара решений
a = 6,7838 b =
0,9762
a = -0,9762 b =
8,7362
4. Методом
максимального правдоподобия найдем точечную оценку параметра λ
распределения Пуассона
X ~ П (λ)
P(X=k) =
Функция
правдоподобия:
L=
Ln L(λ)=
Уравнение
правдоподобия:
=> =>
Докажем
несмещенность:
Докажем
сосотоятельность:
СТАТИСТИЧЕСКАЯ
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
1. Пусть
случайная величина X~N(a,), причем параметры распределения неизвестны.
а) Проверим
нулевую гипотезу H0: для ,
если альтернативная гипотеза H1: .
Найдем
наблюдаемое значение критерия:
.
По условию
конкурирующая гипотеза имеет вид первого случая, поэтому критическая область
правостороння, по уровню значимости равному 0,05 и числу степеней свободы, находим критическую точку , при . Так как – есть основание отвергнуть гипотезу.
б) Далее проверим
следующую нулевую гипотезу если альтернативная гипотеза . Уровень значимости принимается
Для этого вычислим
наблюдаемое значение критерия:
По таблице
критических точек распределения Стъюдента имеем :
Т.е. получилось,
что , следовательно, нулевая гипотеза