x
|
1
|
2
|
3
|
y
|
4
|
5
|
8
|
-алгоритмически (с помощью ЭВМ)
Классификация функций:
Элементарные: - функции, которые получаются
из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий
(+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции:
1. y=xn - степенная
2. y=ax - показательная
3. y=logax - логарифмическая
4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические.
Сложные:
Y=f(U), где U=j(x),
Y=f[j(x)]
Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой
переменной х, то y=f[j(x)] называется сложным заданием х.
29. Определение пределов
последовательности и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции 1ой переменной.
а) Предел последовательности:
y=f(Un), где U1,U2,...Un,
а Un=n/(n2+1)
Предел: число а называется пределом переменной xn, если для каждого “+” как угодно
малого числа e(эпсилон) существует такой номер N, что при n>N разность |xn-a|<e
limxn=a
n®¥
-e<Xn-a<e
a-e<Xn<a+e
б)
Предел ф-ции:
y=f(x) число а называется пределом
переменной х, если разность м/ду ними есть б.м.в. |x-a|®0, |x-a|<e
Число
А называется пределом ф-ции f(x) при
х®а, если для каждого, как
угодно малого на период заданного числа e. -e>0, найдется такое как угодно
малое на период заданного d>0, что будут выполняться
неравенства: Если |x-a|<d, то |f(x)-A|<e
Основные
св-ва:
1.Если величина имеет предел, то только 1.
2. limC=C, где С- постоянная величина
3.
Если a-б.м.в., то lima=0
4. предела б.б.в. не существует
5.
если limy=a, то y=a+a, где a-б.м.в.
30.
Основные теоремы о пределах.
1.
Предел суммы = суммы пределов:
limx=a, limy=b, тогда x=a+a, y=b+b, где a и b - б.м.в. x+y=(a+a)+(b+b)=(a+b)+(a+b), где a+b=w- б.м.в.
x±y=(a±b)+w, то lim(x±y)=a±b=limx+limy.
2.
Теорема о пределе производной: если сомножители имеют пределы, то и
произведение имеет предел, равный произведению пределов сомножителей.
limx=a,
limy=b, то на
основании 5го св-ва
x=a+a
y=b+b, где a и b - б.м.в.
x*y=(a+a)*(b+b)=a*b+(ab+ab+ab), то
сумма б.м.в. = d(дельта)
xy=ab+d
xy®ab,
limxy=ab=limx*limy
3. Следствие: постоянная
величина выноситься за знак предела.
limCx=limC*limx=C*limx
4. Предел от частного = частному
пределов (кроме limx/limy=0
limx/y=limx/limy, т.к. limx=a, limy=b
x=a+a, y=b+b
x/y=(a+a)/(b+b)
31.
1й, 2й замечательный пределы.
1й:
limsinx/x=1,
limx/sinx=1. x®0
j
lim((Sina)/a)=1
x®0
SDOAC<SсектораOAC<SDOCB
SDOAC=1/2*OC*AD, OA=OC=1, то
SDOAC=1/2*OC*OA*Sina=1/2*Sina
SсектораOAC=1/2*OA*OC*a=1/2*a(т.к. OA=OC)
SDOCB=1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tga=1/2*tga
1/2*Sina<1/2*a<1/2tga //*2
sina<a<tga//:sin
1<a/sina<1/cosa, =>cosa<sina/a<1,
limCosa<lim((Sina)/a)<lim1, по признаку
a®0 a®0 существования
предела ф-ции
lim((Sina)/a)=1
a®0
2ой: lim(1+1/n)n=e»2.7183
n®¥
Зная,
что 1/n=a - б.м.в., то n=1/a и
x®¥
a®0
lim(1+1/n)1/a=e
a®0
32. Основные приемы нахождения
пределов.
1.
Подстановка: при х®х0 и х0Îобласти определения ф-ции f(x), предел ф-ции f(x)= его частному значению при х=х0
limf(x)=f(x0)
x®x0
2. Сокращение: при х®¥ и х®х0 f(x)/g(x)=0/0, то сокращают числитель и
знаменатель на множитель, стремящийся к 0.
3.
уничтожение иррациональности (* числитель и знаменатель на 1 число).
4.деление
на наивысшую степень х: при х®¥ и
х®х0 f(x)/g(x)=0/0, то делим числитель и знаменатель на
наивысшую степень.
5.
сведение к известным пределам: lim((Sinx)/x)=1
x®¥
lim(1+1/n)x=e
x®¥
33. Непрерывность ф-ции в точке и на
интервале.
x=x0+Dx, Dx=x-x0
Dy=f(x0+Dx)-f(x0)
Ф-ция y=f(x)
наз. непрерывной в точке x0, если она определена в
окрестности этой точки, а limDy=0. (б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции).
limDy=lim[f(x)-f(x0)]=limf(x)-limf(x0)=0, то
limf(x)=limf(x0)
x®x0
Ф-ция непрерывна в точке х0, если ее предел
= значению этой ф-ции в точке х0
Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она
непрерывна в каждой его точке.
34. Признаки существования а) предела
ф-ции и б) предела последовательности.
а) если все значения ф-ции f(x) заключены между значениями ф-ции j(x) и g(x), которые имеют 1 предел при
х®а, то и limf(x)=A
j(x)<=f(x)<=g(x), где limj(x)=А, limg(x)=А, то limf(x)=A. х®а
б) Если последовательность монотонно возрастает и
ограниченна сверху, то она имеет предел.
Последовательность монотонно возрастает, если
последующий член>предыдущего (xn+1>xn)
Последовательность ограничена сверху, если существует
такое М, что xn<=M.
35. Бесконечно малые величины и их
св-ва:
величина называется б.м.в. в каком-то процессе, если
она в этом процессе бесконечно уменьщается.(r=m/V, если V®¥, то r®0)
Св-ва б.м.в.:
-сумма или разность конечного числа б.м.в. есть б.м.в.
(a и b-б.м.в., то a±b=б.м.в.)
-произведение б.м.в. на величину ограниченную есть
б.м.в. (U<=M, то a*U=б.м.в.)
-произведение б.м.величин=б.м.в.
-произведение б.м.в. на постоянную = б.м.в
36. Бесконечно большие величины и их
св-ва.
б.б.в - величина для которой |Xn|®¥
(при xn=1/n, n®0, то xn®¥)
Св-ва:
-величина обратная б.б.в. явл. б.м.в. (1/¥=0; 1/0=¥)
-сумма б.б.в. (с одинаковым знаком) есть б.б.в.
-произведение 2х б.м.величин=б.м.в.
-частное от деления 2х б.б.в = неопределенность
38. Св-ва непрерывных ф-ций:в
в отрезке:
1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)*f(b)<0, т.е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a,b) найдется
хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0
(график)-теорема Больцана-Коши.
2. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом промежутке.
3. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке min m и max M (теорема Вейерштрасса).
в точке:
1.
если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х0, то их
сумма, произведение, частное (при j(х0)¹0)
явл-ся ф-циями, непрерывными в х0
2.
если ф-ция y=f(x) непрерывна в х0,
и f(x0)>0, то существует окрестность х0,
в которой f(x)>0
3. если y=f(U) непрерывна в U0, а U=j(x) непрерывна в U0=j(x0), то сложная ф-ция y=f[j(x)] непрерывна в х0.
39. Задачи, приводящие к понятию
производной. Определение производной и ее геометрический смысл.
1. ncp.=DS/Dt, n=lim(DS/Dt), где Dt®0
2. pcp.=Dm/Dl, pT=lim(Dm/Dl), где Dl®0
Dy=f(x+Dx)-f(x), y=f(x)
lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)
Dx®0 Dx®0
Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при
изменении аргумента.
y=f(x+Dx)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется
предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента:
lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)=dy/dx
Dx®0 Dx®0
Вычисление производной: lim(Dy/Dx)=y` Dx®0
2) если y=x2,
Dy=(x+Dx)2-x2=x2+2xDx+Dx2-x2=Dx(2x-Dx),
(x2)`=lim((Dx(2x+Dx))/Dx)=lim(2x+Dx)=2x
x®0 Dx®0
Геометрический смысл производной.
KN=Dy, MK=Dx
DMNK/tg2=Dy/Dx
вычислим предел левой и правой части:
limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0
tga0=y`
a®a0
При Dx®0 секущая MN®занять положение касательной в точке M(tga0=y`, a®a0)
Геометрический смысл производной заключается в том,
что есть tg угла наклона касательной,
проведенной в точке x0.
40. Основные правила дифференцирования.
Теорема:
Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:
Теорема
о произв. сложной функции:
Если
y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).
Теорема
о произв. обратной функции.
Таблица производных:
41. Дифференцирование сложных ф-ций:
Производная сложной ф-ции = произведению производной
ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента
по независимой переменной.
y`=f(x)*U`,или yx`=yU`*Ux`,
или dy/dx=dy/dU=dU/dx
Например:
42. Дифференцирование обратной ф-ции.
y=f(x), то x=j(y) - обратная ф-ция.
Для дифференцируемой ф-ции с производной, не = 0, производная
обратной ф-ции = обратной величине производной данной ф-ции, т.е. xy`=1/yx`.
Dy/Dx=1/(Dy/Dx) - возьмем предел от левой и правой
части, учитывая, что предел частного = частному пределов:
lim(Dy/Dx)=1/(lim(Dy/Dx), т.е. yx`=1/xy или f`(x)=1/j`(x)
Например:
43. Производные степенных и
тригонометрических функций.
Основные формулы:
44. Производные обратных тригонометрических функций.
Основные формулы:
Для сложных функций:
45. Производные показательных и логарифмических функций.
Основные формулы:
Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:
46. Логарифмическое
дифференцирование. Вывод производной степенной ф-ции.
y=ax - показательная ф-ция, y=xn - степенная, y=xx - показательно-степенная.
y=[f(x)]j(x) - показательно-степенная ф-ция.
lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией
х.
(1/y)*y`=(lny)
(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1
y`=y*(lnx+1)=xx(lnx+1)
Операция, которая заключается в последовательном
применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а
затем дифференцирование.
Степенная ф-ция:
1.y=xn, nlnx, y`/y=n/x=n*(x)-1
y`=y*n*(x-1)=n*xn*x-1=n*xn-1
2.y=eU, где U=sinx
U`=cosx, y`=(eU)`=eU*U`=esinx*cosx.
47. Производная высших порядков ф-ции
1й переменной.
y=f(x)
y``=(y`)`=lim((f`(x+Dx)-f`(x))/Dx)
x®0
y```=(y``)`= lim((f``(x+Dx)-f``(x))/Dx)
f(n)(x)=[f(n-1)(x)]`
48. Производные 1,2-го порядка
неявных ф-ций.
Неявной называется такая ф-ция у аргумента х, если она
задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным
относительно независимой переменной.
y=f(x), y=x2-1 - явные
F(x,y)=0, a2=x2+y2 - неявные ф-ции.
1)a2=x2+y2 - найдем производную,
продифференцируем, считая у - сложной ф-цией х.
y`=2x+2y=0, т.к. а- постоянная
y*y`=-x, y`=-x/y
2) x3-3xy+y3=0
3x3-3(xy)`+3y2*y`=0 //:3
x2-(x`y+y`x)+y2*y`=0
y`y2-xy`=y-x2
y`=(y-x2)/(y2-x)
49. Дифференциал ф-ции и его
геометрический смысл. Св-ва дифференциала.
limy=A, y=A+a
limDy/Dx=y`,
Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx
Dx®0
Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого
порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить.
dy=y`Dx
Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная
б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более
высокого порядка малости, чем Dх.
Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx
Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx
Геометрический смысл: дифференциал - изменение
ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0,f(x0)) при изменении x0 на величину Dx
Св-ва:
1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V)
2. (UV)`=U`V+V`U, то
(UV)`dx=V`dU+U`dV
3.d(c)=c`dx=0*dx=0
4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2.
50.Теорема Ролля.
Если функция f(x) непрерывна на заданном
промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с
из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.
51. Теорема Лагранжа.
Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест.
т.
с(a,b), такая, что:
f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).
Доказательство: применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1¹0.
52. Теорема Коши.
Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:
1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]
2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)
3). g’(x)¹0 на интер. (a,b), то сущ. т. с
g(b)¹g(a) (неравны по теореме Ролля).
1). F(x) – непрерывна на [a,b]
2). F(x) – деффиренцирована на (a,b)
3). F(a)=0 ;
F(b)=0
по
теореме Ролля сущ. сÎ(a,b); F’(с)=0
53. Необходимые и достаточные признаки монотонности ф-ции:
Если x2>x1, f(x2)>f(x1), то ф-ция монотонно
возрастает
Если x2>x1, f(x2)<f(x1), то ф-ция монотонно убывает
Монотонность - постоянство
Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее
производная в этом интервале неотрицательна (f`(x)>=0)
2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то
ее производная в этом интервале неположительная (f`(x)<=0)
3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 (f`(x)=0)
Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.
2)если f`(x)<0,
то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.
3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале.
x1<a<x2, x2-x1>0,
x2>x1
1. если f`(a)>0, то f(x2)>f(x1)
2. если f`(a)<0, то f(x2)<f(x1)
3. если f`(a)=0, то
f(x2)=f(x1)
54. Экстремумы ф-ций. Признаки существования экстремума.
Наибольшее и наименьшее значение ф-ции 1й переменной.
Точка х называется точкой max ф-ции, если значение ф-ции в этой
точке - наименьшее в некоторой ее окрестности.
1- локальный max
2- локальный min
3- глобальный max
4- глобальный min
если tga>0, то f`(x)>0
если tga<0, то f`(x)<0
Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.
(В
них можно построить ¥
касательных).
Достаточный признак: точка х0 является
точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:
- если с “+” на “-”, то х0- т. max
- если с “-” на “+”, то х0- т. min
55. Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба.
Линия называется выпуклой, если она пересекается с
любой своей секущей не более чем в 2х точках.
Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1
сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.
Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок
дуги от вогнутого.
Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если
линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая,
то ее f``(x)>=0
Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в
интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая
Признаки точки перегиба: чтобы X0 была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при
переходе х через х0.
56. Асимптота графика ф-ции.
Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится,
но никогда ее не пересекает.
1) прямая х=х0 назыв-ся вертикальной
асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при х®х0 |f(x)|®+¥ (вида x=b)
2) y=kx+b, ,y=f(x)
- общее ур-е
наклонной асимптоты
lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+a(б.м.в.) по св-ву x®¥ пределов.
разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при
х®¥
f(x)/x=k+b/x+a/x,
lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(a/x)
x®¥
, то
k=lim(f(x)/x)
b=lim[f(x)-kx]
Если эти пределы существуют, то существует и наклонная
ассимптота вида kx+b=y
3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота.
57. Предел и непрерывность ф-ции
нескольких переменных.
Величина U наз-ся ф-цией переменных (x1,x2...xn), если каждой,
рассматриваемой в совокупности этих величин соотв-ет 1 определенное значение
величины U.
Пусть f(M)=M0(x10, x20,...
xn0), M(x1, x2,... xn)
Ф-ция f(M)=f(x1, x2,... xn) имеет предел А при М0®М, если каждому значению как угодно
малого числа d(дельта) соотв-ет, как угодно
малое заданное число e>0, если |M0M|=d, то |f(M)-A|<e
Ф-ция f(M)
наз-ся непрерывной в точке М0, если б.м. приращению любого аргумента
соответствует б.м. приращение ф-ции.
limf(x10, x20,...
xn0)=limf(x1, x2,... xn)
x10 ® x1
x20 ® x2
xn0 ® xn
58. а) Частная производная ф-ции
нескольких переменных. б) Частный и полный дифференциалы.
а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных
x=f(x,y), точка A(x0,y0)
Dz=f(x0+Dx, y0+Dy)-f(x0,y0)
- полное
приращение.
Частное приращение по х (по у):
DxZ=f(x0+Dx, y)-f(x0, y0)
DyZ=f(y0+Dy, x)-f(x0, y0)
Частная производная ф-ция:
б) dxZ=Zx`*Dx=¶Z/¶x*dx;
dxZ=Zy`*Dy=¶Z/¶y*dy
Полный дифференциал dZ=dxZ+dyZ=Z`xdx +Z`ydy
dZ=¶Z/¶x*dx+=¶Z/¶y*dy
Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти
частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их
на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить.
59. Производная 2го порядка ф-ции
нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных.
Частное производной 2го порядка от ф-ции Z явл. частная производная от 1й
производной:
Z``XX=(Z`x)`x ; Z``yy=(Z`y)`y
Z``Xy=(Z`x)`y=(Z`y)`x
60. Экстремумы ф-ции нескольких переменных. Необходимые и
достаточные признаки экстремума ф-ции 2х переменных.
Z=f(x,y), M0(x0,y0), M(x,y)
Max ф-ции Z называется такое ее значение
f(x0,y0), которое является наибольшим
среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0
Min ф-ции Z называется такое ее значение
f(x0,y0), которое является наименьшим
среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0
Экстремум сущ. в тех точках, в которых частная
производная ф-ции Z=0 или не существует:
Если Z=f(x1,x2,...xn), то ¶Z/¶xi=0, i=1,2,...n - необходимое условие.
Достаточный признак:
где A= Z``XX(x0,y0), C= Z``yy(x0,y0),
B= Z``yx (x0,y0),
1) если D>0, то М0 - точка
экстремума;
если А<0 или С<0, то М0 - точка max;
если А>0 или
С>0, то М0
- точка min.
2) если D<0,
то экстремума
нет
3) если D=0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым.
61. Общая схема исследования ф-ции
необходима для построения графика.
Найти:
-обл. определения ф-ции
-точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся
непрерывной
-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва,
вертикальной асимптоты
-т. пересечения графика с осями координат
-симметрия графика (чет./нечет):
f(-x)=x симметрична относительно осей
f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)
-периодичность
-интервалы монотонности
-точки экстремума
-наибольшее и наименьшее значение
-выпуклость, вогнутость
-точки перегиба
-поведение ф-ции в безконечности, наклонная и
горизонтальные асимптоты
-нанесение на график.