Метризуемость топологических пространств
Министерство
образования и науки Российской Федерации
Вятский
государственный гуманитарный университет
Математический
факультет
Кафедра
математического анализа и МПМ
Дипломная
работа
Метризуемость
топологических пространств
Выполнила
студентка 5 курса
математического
факультета
Побединская
Татьяна Викторовна
_______________________________
(подпись)
Научный
руководитель
к.ф.-м.н., доцент
кафедры математического анализа и МПМ Варанкина Вера Ивановна
_______________________________
(подпись)
Рецензент
_______________________________
(подпись)
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой______________________________к.п.н.,
доцент Крутихина М.В.
(подпись)
«_____» _______________2004 г.
Декан факультета_________________________к.ф.-м.н.,
доцент Варанкина В.И.
(подпись)
«_____» _______________2004 г.
КИРОВ
2004
Содержание
Введение. 3
Глава I. Основные
понятия и теоремы.. 4
Глава II. Свойства
метризуемых пространств. 10
Глава III. Примеры
метризуемых и неметризуемых пространств. 21
Библиографический список. 24
Тема
дипломной работы – «Метризуемость топологических пространств».
В
первой главе работы вводятся основные определения, связанные с понятиями метрического
и топологического пространств.
Во
второй главе рассматриваются и доказываются следующие свойства метризуемых
пространств:
1.
Метризуемое пространство хаусдорфово.
2.
Метризуемое пространство нормально.
3.
В метризуемом пространстве выполняется первая аксиома счетности.
4.
Метризуемое пространство совершенно нормально.
5.
Для метризуемого пространства следующие условия эквивалентны:
1) сепарабельно,
2) имеет
счетную базу,
3) финально
компактно.
6.
Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано
ограниченной метрикой.
7.
Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.
В
третьей главе рассматриваются примеры метризуемых и неметризуемых пространств.
Глава I. Основные
понятия и теоремы
Определение. Метрическим пространством
называется пара ,
состоящая из некоторого множества (пространства) элементов (точек) и расстояния, то есть
однозначной неотрицательной действительной функции , определенной для любых и из и удовлетворяющей трем условиям:
1)
(аксиома тождества);
2)
(аксиома симметрии);
3)
(аксиома треугольника).
Определение. Пусть
– некоторое
множество. Топологией в называется любая система его подмножеств , удовлетворяющая двум
требованиям:
1.
Само множество и пустое множество принадлежат .
2.
Объединение любого (конечного или бесконечного) и
пересечение любого
конечного числа множеств из принадлежат .
Множество
с заданной в нем
топологией , то
есть пара ,
называется топологическим пространством.
Множества,
принадлежащие системе ,
называются открытыми.
Множества
, дополнительные
к открытым, называются замкнутыми множествами топологического
пространства .
Определение. Совокупность
открытых
множеств топологического пространства называется базой топологического
пространства ,
если всякое открытое множество в может быть представлено как объединение
некоторого числа множеств из .
Теорема 1. Всякая база в топологическом
пространстве обладает
следующими двумя свойствами:
1)
любая точка содержится хотя бы в одном ;
2)
если содержится в пересечении двух множеств и из , то существует такое , что .
Определение. Открытым шаром или
окрестностью точки радиуса
в
метрическом пространстве называется
совокупность точек ,
удовлетворяющих условию .
При этом – центр
шара, – радиус
шара.
Утверждение 1. Для любого , принадлежащего -окрестности точки , существует окрестность
радиуса ,
включенная в -окрестность
точки .
Доказательство. Выберем в качестве :.
Достаточно
доказать для произвольного импликацию . Действительно, если , то
Получаем,
что , что и
требовалось доказать.
Теорема 2. Совокупность всех открытых
шаров образуют базу некоторой топологии.
Доказательство. Проверим свойства базы
(теорема 1).
·
Свойство первое очевидно, так как для любого выполняется для любого .
·
Проверим второе свойство.
Пусть
, и , тогда, воспользовавшись утверждением
1, найдем такое ,
что Теорема
доказана.
Определение. Топологическое
пространство метризуемо,
если существует такая метрика на множестве , что порожденная этой метрикой топология
совпадает с исходной топологией пространства .
Аксиомы отделимости
Аксиома . Для любых двух различных точек топологического пространства окрестность
хотя бы одной из них не содержит другую.
Аксиома . Каждая из двух произвольных точек пространства имеет окрестность, не
содержащую вторую точку.
Предложение. является - пространством тогда и только тогда,
когда для любого множество
замкнуто.
Доказательство.
Необходимость. Пусть . Так как является -пространством, то существует
окрестность , не
содержащая .
Рассмотрим
Докажем,
что . Применим
метод двойного включения:
·
Очевидно, что по построению множества .
·
.
Пусть отсюда для любого отличного от существует окрестность , значит , тогда .
Множество
- открыто, как
объединение открытых множеств.
Тогда
множество -
замкнуто, как дополнение открытого множества.
Достаточность. Рассмотрим . По условию замкнутые множества. Так как , то . Множество -открыто как дополнение замкнутого и
не содержит .
Аналогично доказывается существование окрестности точки , не содержащей точку
Что
и требовалось доказать.
Аксиома ( аксиома Хаусдорфа). Любые две точки пространства имеют
непересекающиеся окрестности.
Аксиома .
Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество
имеют непересекающиеся окрестности.
Определение. Пространства, удовлетворяющие
аксиомам () называются -пространствами (-пространства называют
также хаусдорфовыми пространствами).
Определение. Пространство называется нормальным
или -пространством,
если оно удовлетворяет аксиоме , и всякие его два непустые непересекающиеся
замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности.
Определение. Система окрестностей
называется определяющей системой окрестностей точки , если для
любой окрестности точки
найдется
окрестность из этой системы, содержащаяся в .
Определение. Если точка топологического
пространства имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в
этой точке выполняется первая аксиома счетности. Если это верно для
каждой точки пространства, то пространство называется пространством с первой
аксиомой счетности.
Определение. Две метрики и на множестве называются эквивалентными,
если они порождают на нем одну и ту же топологию.
Пример. На плоскости для точек и определим расстояние тремя различными
способами:
1.
,
2.
,
3.
.
·
Введенные расстояния являются метриками. Проверим
выполнимость аксиом метрики для введенных расстояний.
1.
1)
2) так как и , то вторая аксиома
очевидна:
3) рассмотрим точки ,, и докажем следующее неравенство:
Возведем
это неравенство в квадрат:
.
Так
как и (поскольку ) и выражение есть величина
неотрицательная, то неравенство является верным.
2.
1)
2) так как и , то вторая аксиома
очевидна: .
3) рассмотрим точки ,, и докажем следующее неравенство: .
Тогда
и .
2) так как и , то вторая аксиома
очевидна:
.
3) рассмотрим точки ,,.
Неравенство:
-
очевидно.
·
Введенные метрики и эквивалентны, то есть задают одну и ту же
топологию.
Пусть
метрика порождает
топологию , - топологию и - топологию . Достаточно показать два равенства.
Покажем,
что .
Рассмотрим
множество, открытое
в и покажем, что
открыто в . Возьмем некоторую точку и
изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в . Шар в - квадрат, шар в - круг. А квадрат всегда можно
заключить в круг. Тогда открыто
и в .
Аналогично
доказывается, что .
А тогда и .
Глава II. Свойства
метризуемых пространств
Свойство 1. Метризуемое пространство
хаусдорфово.
Доказательство. Пусть . Возьмем . Докажем, что .
Предположим,
что , тогда
существует , т.е.
и . Тогда, . Получили противоречие. Следовательно,
.
Следствие. Метризуемое пространство
является -
пространством.
Определение. Расстоянием от точки до множества в метрическом пространстве
называется .
Утверждение 2. Пусть множество фиксировано; тогда функция
, сопоставляющая
каждой точке расстояние
, непрерывна на
пространстве .
Доказательство. Воспользуемся определением
непрерывности: функция называется
непрерывной в точке ,
если .
Из
неравенства ,
где , получаем . Аналогично . Из полученных неравенств
следует .
Для
произвольного возьмем
. Тогда из
неравенства следует
. Непрерывность доказана.
Лемма. – замкнутое множество в метрическом
пространстве .
Для любого расстояние
от до множества положительно.
Доказательство.
Множество
замкнуто, отсюда
следует, что множество -
открыто. Так как точка принадлежит
открытому множеству ,
то существует такое,
что . Так как , то для некоторого . Поэтому для любого . Следовательно, , что и требовалось
доказать.
Свойство 2. Метризуемое пространство
нормально.
Доказательство. По доказанному метризуемое
пространство является
-пространством. Остается доказать,
что любые непустые непересекающиеся замкнутые множества и имеют непересекающиеся окрестности.
Так
как и множество замкнуто по условию, то
для любого по
лемме .
Обозначим
и для произвольных и .
Множества
и открыты как объединения
открытых шаров в и
содержат соответственно множества и .
Следовательно,
- окрестность
множества , - окрестность множества .
Докажем,
что .
Предположим,
что , то есть . Тогда из условия следует, что для некоторого . Отсюда .
Аналогично
получаем для
некоторого . Для
определенности пусть .
Тогда .
Получаем
, для некоторой
точки , что
невозможно в силу определения расстояния от точки до множества.
Следовательно
. Таким образом, является -пространством, а, значит,
нормальным пространством. Теорема доказана.
Свойство 3. В метризуемом пространстве выполняется первая
аксиома счетности.
Доказательство. Пусть - произвольное открытое множество,
содержащее точку .
Так как открытые шары образуют базу топологии метрического пространства, то содержится в вместе с некоторым
открытым шаром, то есть для
некоторых и . По утверждению 1 найдется
такое , что .
Возьмем
, для которого . Тогда . Таким образом открытые
шары , образуют определяющую
систему окрестностей точки . Очевидно, что множество этих окрестностей
счетно. Что и требовалось доказать.
Определение. Множеством типа или просто - множеством
пространства называется
всякое множество ,
являющееся объединением счетного числа замкнутых (в ) множеств.
Определение. Множеством типа или просто - множеством
пространства называется
всякое множество ,
являющееся пересечением счетного числа открытых (в ) множеств.
Очевидно,
что множества типа и
являются
взаимно дополнительными друг для друга.
Определение. Нормальное пространство, в
котором всякое замкнутое множество является множеством типа , называется совершенно
нормальным.
Утверждение 3. Нормальное пространство
является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда всякое открытое
множество, принадлежащее этому пространству, является множеством типа .
Свойство 4. Метризуемое пространство совершенно
нормально.
Доказательство. Пусть - непустое замкнутое множество в . Тогда для непрерывной функции (непрерывность ее
установлена в утверждении 2). Обозначим , множества открыты в как прообразы открытых множеств при
непрерывном отображении. Докажем, что .
Пусть
, тогда . Так как для любого , то для любого . Отсюда .
Обратно.
Пусть , тогда для любого . Отсюда для любого , поэтому для любого , тогда , значит . Таким образом множество является множеством типа .
Определение. Множество всюду плотно в , если любое непустое
открытое в множество
содержит точки из .
Определение. Топологическое пространство называется сепарабельным,
если оно имеет счетное всюду плотное подмножество.
Определение. Семейство γ открытых
в множеств
образуют покрытие пространства , если содержится в объединении множеств этого
семейства.
Определение. Топологическое пространство называется финально
компактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить счетное
подпокрытие.
Свойство 5. Для метризуемого
пространства следующие
условия эквивалентны:
1) сепарабельно,
2) имеет
счетную базу,
3) финально
компактно.
Доказательство.
Пусть
- счетное всюду
плотное множество в ,
- метрика в . Множество окрестностей счетно. Докажем, что - база топологии в . Пусть - произвольное открытое в множество, . Тогда для некоторого . Рассмотрим рациональное число , для которого и точку , для которой .
Докажем,
что . Пусть . Так как , то . Тогда . Таким образом, для произвольного и открытого множества нашелся элемент из , такой, что . Следовательно - база топологии.
Пусть - счетная база в . Рассмотрим произвольное
открытое покрытие множества , - открыты для любого (- индексное множество). Для любого существует , для которого . Так как - база, то найдется такое , что . Тогда . Поскольку база счетна, то покрывается счетным числом
соответствующих множеств .
Таким образом, -
финально компактно.
Для каждой точки рассмотрим окрестности , которые образуют покрытие
пространства . В
силу финальной компактности из этого покрытия можно выделить счетное
подпокрытие . В
каждом из этих множеств выберем точку . Множество точек счетно, докажем, что оно плотно в . Пусть - произвольное открытое множество в , , тогда для некоторого . Существует элемент подпокрытия . Тогда , то есть любое непустое
открытое множество в содержит
точку этого множества. Что и требовалось доказать.
Определение. Диаметром непустого
множества в
метрическом пространстве называется
точная верхняя грань множества всех расстояний между точками множества и обозначается .
.
Если
, то множество называют неограниченным.
Определение. Метрика метрического пространства называется ограниченной,
если .
Свойство 6. Любое метризуемое
топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.
Доказательство. Пусть метрика порождает топологию
топологического пространства . Положим для любых .
Докажем
следующее:
1.
-метрика на ;
2.
метрики и эквивалентны;
3.
.
1.
Проверим выполнимость аксиом.
1) ;
: Докажем, что .
Известно,
что .
·
Если и , то и , тогда . Так как , то .
·
Если или , то , а , тогда .
2.
Пусть -
топология, порожденная метрикой , а - топология, порожденная метрикой . Докажем, что .
Пусть
- открытое
множество в ,
докажем, что множество открыто
в . Для любого существует такое, что . Можно считать, что . Тогда является окрестностью в того же радиуса . Следовательно, открыто в топологии .
В
обратную сторону доказательство проводится аналогично.
Из
всего выше сказанного следует, что метрики и эквивалентны.
3.
Из формулы следует,
что для любых . Отсюда .
Определение. - топологические пространства, . Тихоновским
произведением топологических пространств называется топологическое пространство , в котором базу топологии
образуют множества ,
где открыто в для любого и для всех индексов кроме конечного
их числа.
Свойство 7. Произведение счетного числа
метризуемых пространств метризуемо.
Доказательство. Пусть - метризуемые топологические
пространства. По лемме на каждом множестве существует ограниченная метрика соответственно.
Рассмотрим
.
Покажем:
1.
является
метрикой на и .
2.
топология, порожденная метрикой , совпадает с топологией произведения
пространств .
1.
Проверим выполнимость аксиом метрики.
1)
(так как - метрика по условию).
2)
, .
Так
как (-метрика по условию), то , тогда .
3)
Докажем, что .
, , . Но так как выполняется неравенство , то будет выполняться
неравенство:
, тогда .
Теперь докажем, что .
, где геометрическая прогрессия, а , тогда .
2.
1) Покажем, что каждое множество , открытое в топологии, индуцированной
метрикой ,
открыто и в топологии произведения.
Рассмотрим
произвольную точку .
Существует такое ,
что . Далее
достаточно найти положительное число и открытые множества , такие, что .
Пусть
- положительное
целое число, удовлетворяющее условию:
.
Для
положим и для .
Для
каждой точки . Рассмотрим полученные
суммы. Так как ,
где , то . Так как для любых , то . Тогда , т.е. . Таким образом . Следовательно, множество открыто в тихоновской топологии
произведения.
2)
Пусть множество открыто
в топологии произведения. Докажем, что оно открыто в топологии, порожденной
метрикой .
Требуется
доказать, что для любой точки найдется такое , что .
Так
как множество открыто
в топологии произведении, то для некоторого множества , где - открыто в и для любого и для всех индексов кроме конечного их числа. Поскольку
и открыто в , то для конечного числа индексов, для
которых . Пусть - наименьший из этих
значений .
Докажем, что .
Возьмем произвольное .
Тогда . Отсюда для любого . Это означает, что для любого . Получили . Следовательно, множество открыто в топологии,
индуцируемой метрикой .
Теорема доказана.
Глава III. Примеры
метризуемых и неметризуемых пространств
1.
Дискретное топологическое пространство.
- произвольное непустое
множество. Открытым назовем любое подмножество в . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы
топологического пространства. Рассмотрим Для любого множество открыто, так как . Следовательно, открыто и любое
подмножество в как
объединение одноэлементных множеств. Вывод: дискретное топологическое
пространство – метризуемо.
2.
Двоеточия.
. Рассмотрим топологии на .
1)
- простое
двоеточие.
2)
- связное
двоеточие.
3)
- слипшееся
двоеточие.
- метризуемо, так как
топология -
дискретная.
, - неметризуемы, так как не являются
хаусдорфовыми.
3.
Стрелка ().
В открытыми назовем и множества вида , где . Очевидно, при этом выполнены все
аксиомы топологического пространства. Топологическое пространство не является хаусдорфовым,
а значит неметризуемо.
4.
Окружности Александрова (пространство ).
Открытые множества в :
первого рода: интервал на малой
окружности плюс
его проекция на большую окружность , из которой выброшено конечное число точек.
второго
рода: каждая точка на большой окружности открыта.
1.
Множество замкнуто
в тогда и только
тогда, когда -
конечно.
Доказательство. Очевидно, что любое конечное
множество замкнуто
как дополнение открытого. Пусть и - бесконечно. Докажем, что - незамкнуто.
Так
как -
бесконечно, то оно содержит счетное подмножество, которое можно рассмотреть как
последовательность точек, принадлежащих . Эта последовательность ограничена в , по теореме
Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Так как замкнуто
в , то предел
этой последовательности .
Пусть - точка,
для которой является
проекцией на .
Возьмем произвольное открытое в множество , содержащее точку . Тогда исходя из структуры открытых
множеств первого рода получаем, что содержит бесконечно много точек множества , т.е. является предельной точкой
множества . При
этом . Следовательно,
- незамкнуто.
2. Множество не
совершенно нормально.
Доказательство. Пусть дуга . Множество открыто, как объединение открытых
одноэлементных множеств. Замкнутыми в являются по доказанному лишь конечные
множества. Но счетное объединение конечных множеств счетно. Следовательно открыто и не является
множеством типа .
Таким образом множество неметризуемо.
1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию
размерности. – М.: Наука, 1973.
2. Энгелькинг Р. Общая
топология – М.: Мир, 1986.
3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа. – М. Наука, 1989.